本篇為mit公開課——線性代數 筆記。
兩未知數兩方程：
\[2 x-y=0\\
-x+2 y=3
\]方程組的矩陣形式：
\[\left(
\begin
2 & -1 \\
-1 & 2 \\
\end
\right) \left(
\begin
x \\
y \\
\end
\right)=\left(
\begin
0 \\
3 \\
\end
\right)
\]這裡矩陣有兩行兩列，左手邊包括係數矩陣\(a\)，未知數向量 \(x\)，右側向量\(b\)。
於是線性方程組可以寫成 \(a x =b\).
一次取一行方程，作圖於 \(xy\) 平面。
做出滿足兩個方程的所有的點的影象。
它們相交於點 \((1,2)\)。這個交點也是方程的解。
我們重新看兩個方程
\[2 x-y=0\\
-x + 2 y=3
\]兩個方程一起考慮，豎著看方程， \(x\) 和 \(y\) 的部分。我們可以寫成：
\[x \left(
\begin
2 \\
-1 \\
\end
\right)+y \left(
\begin
-1 \\
2 \\
\end
\right)=\left(
\begin
0 \\
3 \\
\end
\right)
\]這個方程的目的是尋找如何將左側的兩個已知向量正確組合然後構成右側的向量。即：\(\left(
\begin
2 \\
-1 \\
\end
\right)\)和\(\left(
\begin
-1 \\
2 \\
\end
\right)\)分別乘以對應數值然後相加，來製造向量\(\left(
\begin
0 \\
3 \\
\end
\right)\)，這個過程就是列向量的線性組合。這兩個數值就是我們要求解的。
在行影象中我們解出 \(x\) =1, \(y\) =2,帶進去列向量組成的方程試試，
\[1 \left(
\begin
2 \\
-1 \\
\end
\right)+2 \left(
\begin
-1 \\
2 \\
\end
\right)=\left(
\begin
0 \\
3 \\
\end
\right)
\]這個影象是怎麼樣的呢？（向量的加法運算）
怎麼得來的？對於右側向量，第乙個分量就是(從橫向看) \(1*2+2*(-1)=0\),第二個分量就是 \(1*(-1)+2*2=3\)
絕了。那麼所有的線性組合又是什麼？
\[x \left(
\begin
2 \\
-1 \\
\end
\right)+y \left(
\begin
-1 \\
2 \\
\end
\right)=\left(
\begin
0 \\
3 \\
\end
\right)
\]結果是我們可以得到所有可能的右側向量，它們會布滿整個座標平面。也就是會得到乙個面。
三未知數三方程：
\[\begin
2x-\,\,\,\,&y=0\\
-x+2&y-z=-1\\
-3&y+4z=4
\end
\]係數矩陣和右側向量分別為：
\[\begin
&a=\left(
\begin
2 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & -1 \\
0 & -3 & 4 \\
\end
\right)\\
\\&b=\left(
\begin
0 \\
-1 \\
4 \\
\end
\right)
\end
\]三維影象裡，每一行方程都是乙個平面；在這個例子裡面，三個平面互不平行，所以兩個平面相交於一條直線，三個平面相交於乙個點。
這個點就是我們的解。
但問題顯而易見：太難畫了！(不用軟體) 四維甚至更高維，問題更複雜，更加難畫。
此時列影象將展現它的優勢。
寫出列影象矩陣形式：
\[x \left(
\begin
2 \\
-1 \\
0 \\
\end
\right)+y \left(
\begin
-1 \\
2 \\
-3 \\
\end
\right)+z \left(
\begin
0 \\
-1 \\
4 \\
\end
\right)=\left(
\begin
0 \\
-1 \\
4 \\
\end
\right)
\]左側，我們要進行三個向量的線性組合，構造出右側向量。
可以看出，右側向量是左側向量其中乙個，那麼結果很顯然：
\[x=0,y=0,z=1
\]正確的組合就是0個列1，0個列2，1個列3。
但這一道題是精心設計的，一般我們不會一眼看出結果。但可以看到他比行影象簡單得多。
下一講講解矩陣消元法，來解方程組。
對於該例子，考慮所有的右側向量，對任意 \(b\) ,是否都能求解 $a*x=b $ ? ，從線性組合角度問，就是「列的線性組合是否能覆蓋整個三維空間？」，這兩種問法實際上意義是一樣的。
該例子中，係數矩陣 \(a\) 是非奇異矩陣和可逆矩陣，所以對於這個矩陣，答案是」可以「。
但對於某些情況，答案可能是否定的，比如三個列向量同處於乙個平面，那麼它們的組合也一定在這個平面上，問題就出現了，因為 \(b\) 不在這個平面上，所以沒有解。這種情況稱為奇異，矩陣不可逆。
假設9未知數9方程，這樣就有9列，每一列都是9維空間的向量，考慮其線性組合 ，通過正確線性組合得到右側向量。
同樣的，是否對於任意$ b$ 都能求解？
這還是取決於這9個向量，有時可以，有時不行。比如9列實際只有8列對結果有貢獻，這樣就會有一些 \(b\) 無法求得,我們無法得到整個9維空間 。
係數矩陣a乘以未知數向量等於右側向量，這是一種矩陣乘法運算。
\[a x =b
\]如何用矩陣乘以向量？
舉例，\[\left(
\begin
2 & 5 \\
1 & 3 \\
\end
\right) \left(
\begin
1 \\
2 \\
\end
\right)
\]兩種方法：
取1個第一列和2個第二列
\[1 \left(
\begin
2 \\
1 \\
\end
\right)+2 \left(
\begin
5 \\
3 \\
\end
\right)=\left(
\begin
12 \\
7 \\
\end
\right)
\]向量的第乙個分量乘以矩陣第一列，第二個分量乘以矩陣第二列，然後相加。
矩陣第一行與向量點積得到右側向量第乙個分量，第二行與向量點積得到右側向量的第二個分量。
\[(2,5)*(1,2)=12\\
(1,3)*(1,2)=7
\]
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