這節課我們將研究四種基本子空間及其關係。
假設有 \(m*n\) 矩陣 \(a\)
四種基本子空間：
1）列空間 \(c(a)\)
在 \(r^m\) 空間，因為列向量是 \(m\) 維的
2）零空間 \(n(a)\)
在 \(r^n\) 空間，因為她是 \(ax=0\) 的解，\(x\) 是 \(n\) 維向量
3）行空間 \(c(a^)\)
矩陣 \(a\) 所有行的線性組合，將矩陣轉置，我們就能像以前像列空間一樣處理，即變成 \(a\) 轉置的列的所有的線性組合。
在 \(r^n\) 空間，因為 \(a^t\) 列向量是 \(n\) 維向量
4）\(a\) 轉置的零空間，記為 \(n（a^t）\)，通常叫做左零空間，
在 \(r^m\) 空間，因為她是 \(a^tx=0\) 的解，\(x\) 是 \(m\) 維向量
理解這些空間，我們需要解決兩個問題：
1）她們各自的基是什麼？
2）她們是幾維空間？
假設有 \(m*n\) 矩陣 \(a\) ，矩陣的秩就是維數，就是主列的個數。
行空間的維數也是 \(r\) 。
性質：行空間和列空間維數相等 。
舉例\[a=\left(
\begin
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3 \\
2 & 5 & 8 \\
\end
\right)
\]從行空間角度看，很明顯主行可以是 行1和行3，秩為2，行空間是個二維子空間。
根據性質，列空間也是2維。
零空間維數為 \(n-r\) ,就是自由變數的個數。
特殊解可以構成零空間的一組基。
類似於，有 \(n\) 個變數，\(r\) 個主變數， \(n-r\) 個是自由變數，加起來是 \(n\) .
左零空間的維數是 \(m-r\)
所以兩個結論其實是一樣的，兩個維度加起來都等於列的數目。只不過 \(a^t\) 有 \(m\) 列，\(a\) 有 \(n\) 列。
前面我們已經知道，矩陣的主列可以構成列空間的一組基，
假設\[a=\left(
\begin
1 & 2 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 1 \\
\end
\right)
\]主列是列1和列2
我們對她進行消元：
\[\left(
\begin
1 & 2 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 1 \\
\end
\right)\rightarrow \left(
\begin
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end
\right)=r
\]注意，\(r\) 的列空間不等於 \(a\) 的列空間。例如 \(\left(
\begin
1 \\
1 \\
1 \\
\end
\right)\) 顯然再 \(a\) 裡面，但不在 \(r\) 裡面。
消元屬於初等行變換，初等行變換包含三種型別：
某一行，乘以乙個非零倍數
某一行，乘以乙個非零倍數，加到另一行（列）
某兩行，互換
初等行變換不會改變行空間，
行向量乘以倍數只是對向量進行縮放，
行向量乘以乙個倍數，加到另一行，顯然結果是原來兩行的線性運算，
前面說過，向量空間滿足加法和數乘封閉性。所以進行線性變換後結果仍然在行空間中。
下面是擷取知乎兩個理解：
所以 \(a\) 和 \(r\) 的行空間一樣， \(r\) 行空間的基就是 \(a\) 行空間的基。
\(r\) 行空間的基就是前兩行。
結論：對於 \(a、r\) ，基都是 \(r\) 的前 \(r\) 行。
注意，不是 \(a\) 的前 \(r\) 行，因為這不一定成立，行變換不改變行空間，但可能改變基，該例子就不改變。
所以行空間的一組基就是 \(\left(
\begin
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
\end
\right)\) .
為了和零空間區分，設為 \(a^ty=0\) ,
左零空間和零空間的區別：
求矩陣的左零空間,就是求乙個讓矩陣的行產生零行向量的行組合.
求矩陣的零空間,就是求乙個讓矩陣的列產生零列向量的列組合.
為什麼叫左零空間？
因為這裡如果不矩陣 \(a^t\) 轉置，式子中 \(y\) 就在左邊。
兩邊轉置，兩矩陣相乘轉置後需要反順序相乘：
\[y^t .a^=y^t .a=0
\]\(y^t\) 對 \(a\) 左乘，所以稱為左零空間.
但習慣上保留 \(a^t.y=0\) 形式.
怎麼求她的基?
之前我們求解零空間是通過 \(a\) 化簡為 \(r\) ,也許這些步驟可以揭示左零空間的秘密.
重新思考一下步驟,乘以乙個什麼矩陣能夠使 \(a\) 變成 \(r\) ,
我們可以使用高斯-若爾當消元法,
\[e[a_ \quad i_]=[r_ \quad e_]
\]所有引入的消元可以合併為左邊的乙個矩陣 \(e\) ,\(e\) 記錄著對矩陣 \(a\) 所有的行初等變換.我們只需要在 \(a\) 後面加上單位陣,消元後就可以把它求出來,只不過之前我們用她來求可逆方陣的逆,可逆方陣消元後就是 \(i\) ，這時 \(e=a^\)
現在, \(e.a=r\) ,因為 \(a\) 不可逆,她是長方形矩陣.
我們在 \(a\) 後面加上 單位陣,可以求出 \(e\) :
\[\left(
\begin
-1 & 2 & 0 \\
1 & -1 & 0 \\
-1 & 0 & 1 \\
\end
\right)
\]可以通過 \(e.a=r\) 檢驗她.
我們知道左零空間維數是 \(m-r\) ,所以這裡 左零空間是一維空間,左零空間的基只有乙個向量,說明存在乙個線性組合使得 \(a\) 三行的結果為0,這個線性組合就是左零空間的基.
該例子這個向量就是等效消元矩陣 \(e\) 的最後一行.
左乘 \(e\) 最後一行 ,就是乙個讓矩陣 \(a\) 的行的線性組合為0的向量.
因為 \(e\) 是對 \(a\) 所有初等行變換的等效.
所以求左零空間的基,無法直接從 \(r\) 看出來,必須先和 \(e\) 聯絡起來 .
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