通過線性代數系列部落格03，我們了解了齊次線性方程組與非齊次線性方程組，了解了線性方程組的係數矩陣的行列式與解的情況的關係。接下來我們就要**，如果我們需要具體求解線性方程，我們需要怎麼做？在具體了解求解線性方程組的過程之前，我們需要先明確幾個概念。
（1）齊次線性方程組：常數項全為0的線性方程組
（2）齊次線性方程組的解的情況：零解，或者非零解。
在這裡，我們只需要討論非零解的具體情況就好了。因為對於零解的情況，我們只需要算出來它的係數矩陣的行列式det a≠0即可。
基礎解系
在聊基礎解系之前，先討論乙個概念：解空間w，對於齊次線性方程組來說，它的解空間是齊次線性方程組的解集所構成的乙個向量空間。對於非零解的情況下，此空間不是乙個零空間（nullspace），因此我們可以在這個空間中知道一組向量，作為解空間w的乙個基。
這樣的乙個基，我們就稱為齊次線性方程組的乙個基礎解系。
（基：若空間中的任意乙個向量都可以由一組線性無關的向量通過線性組合的方式表示，這樣的一組向量，我們稱為空間的基）
這裡也可以得到基礎解系的官方定義：齊次線性方程組的解集的極大線性無關組通解
對於齊次線性方程組的解集來說，η1,
η2,.
....
..,η
n\eta_,\eta_,.......,\eta_
η1,η2
,..
....
.,ηn
若存在一組解向量η1,
η2,.
....
..,η
t(t<=n
)\eta_,\eta_,.......,\eta_(t<=n)
η1,η2
,..
....
.,ηt
(t<=n
)是解空間的乙個基，則稱這組解向量為乙個基礎解系列。那麼就方程組的解集w可以表示為：
w =k
1η1+
k2η2
+...
....
+ktη
t∣ki
∈k，i
=1,2
,...
..tw=k_\eta_+k_\eta_+.......+k_\eta_|k_∈k，i=1,2,.....t
w=k1η
1+k
2η2
+..
....
.+kt
ηt
∣ki
∈k，i
=1,2
,...
..t公式表述的稍有不嚴謹,集合的{}符號沒辦法打上，其實上面這個關於w的表示方法就是說明，對於基礎解系來說，它可以線性的表示為向量空間內的任何乙個解。
解空間的維數
解空間的維數就是乙個解中具有多少個向量，符合以下公式（其中w是解集，n是變數的數量，a是係數矩陣）
d im
w=n−
rank
(a)dim w=n-rank(a)
dimw=n
−ran
k(a)
其實也很容易理解，秩的數量表示了主元的數量，n-rank（a）實際上是自由變數的數量，我們對自由變數中的乙個取1，其他的取0，這樣所有的自由變數均可以取到一次1，產生1次解向量。有多少個自由變數，我們可以得到不同的解。
對以下例項進行求解：
通過以上例項，我們可以很清楚的看到齊次線性方程組的求解過程可以總結為以下過程：
（1）將係數矩陣a經過初等行變換化成最簡行階梯矩陣j
（2）直接從最簡行階梯矩陣j寫出齊次線性方程組的一般形式（其實這一步就是消元法的代入步驟），這樣就得到了一般解
（3）對於一般解，我們可以每一次讓乙個自由變數取1，其他的自由變數均取0，這樣得到乙個解向量，重複此過程，直到所有的解向量都的出來。
（4）對於所有的解向量的線性組合，我們就稱為方程組的解集。（也叫做方程組的通解）
通過以上例項，我們可以很清楚的看到非齊次線性方程組的求解過程可以總結為以下過程：
（1）將增廣矩陣經過初等行變換化成最簡行階梯矩陣j
（2）直接從最簡行階梯矩陣j寫出齊次線性方程組的一般形式（其實這一步就是消元法的代入步驟），這樣就得到了一般解（注意別把常數項拉下）
（3）對於特解，我們可以令所有的自由變數均為0，這樣可以得到乙個特解。
（4）去掉一般解中的常數項，得到匯出組的一般解。
（5）對於匯出組的一般解，我們可以每一次讓乙個自由變數取1，其他的自由變數均取0，這樣得到乙個解向量，重複此過程，直到所有的解向量都得出來。
（6）對於特解+所有的解向量的線性組合，我們就稱為方程組的解集。（也叫做方程組的通解）
可以看到，除了需要求特解，將常數項去掉後，我們回到了求解齊次線性方程得解得集合。
另外，匯出組的概念需要說明：
匯出組指的是，將非齊次線性方程組的常數項全部變成0，即將非齊次線性方程組轉變為齊次線性方程組，這個對應的齊次線性方程組稱作非齊次線性方程組的匯出組。匯出組
基礎解系
極大線性無關組
齊次線性方程中，齊次和線性的含義
線性函式 對映 f a rightarrow b 為兩個 標量 向量 空間 a,b 的對應關係，在微積分，解析幾何等相關領域中，線性函式 function 是乙個一次或者少於一次的多項式，對於單一變數如 f f x lx m,forall x in r 或多變數的函式，其中 l,m 為已知定常數，由...
齊次線性方程組和非齊次線性方程組
定義齊次線性方程組 等式右側常數項全部為0 非齊次線性方程組 等式右側常數項不全部為0 2.齊次方程組的求解 將係數矩陣化為行階梯形矩陣，記全為0的行數量為r n r a 則非零行的首非零元所在列對應的就是約束變數,其餘變數即為自由變數。將後r個自由變數未知數，每次只有乙個取值為1 其餘為0 然後每...
齊次線性方程組和非齊次線性方程組
1 常數項不同 齊次線性方程組的常數項全部為零，非齊次方程組的常數項不全為零。2 表示式不同 齊次線性方程組表示式 ax 0 非齊次方程組程度常數項不全為零 ax b。齊次線性方程組求解步驟 1 對係數矩陣a進行初等行變換，將其化為行階梯形矩陣 2 若r a r n 未知量的個數 則原方程組僅有零解...