這節課將講解課程中很大的主題，還是對方陣而言，討論特徵值和特徵向量，下一節課講解應用。
給定矩陣 \(a\)
矩陣作用在向量上，矩陣 \(a\) 的作用就像輸入向量 \(x\) ,結果得到向量 \(ax\)。就像乙個函式，微積分中的函式表示作用在數字 \(x\) 上得到 \(f(x)\) ，矩陣就是一種變換。
在這些 \(x\) 向量中，我們比較感興趣的是變換前後還與原來互相平行的向量，多數向量而言，\(ax\) 是不同方向的，有特定的向量能使得 \(ax\) 平行於 \(x\) 。這些 \(x\) 就是特徵向量。
\(x\) 只經行了縮放變換，方向並沒有改變。
\[ax=\lambda x
\]其中，\(\lambda\) 是所成係數，可以是負值或零。負值表示變換前後方向相反。這個值就是特徵值。
零特徵值，表示 \(ax=0x\) ,\(x\) 是零空間裡面的向量。如果 \(a\) 是奇異矩陣，說明把她作用到非零向量 \(x\) 後得到 0
零向量可以取任意方向，和任意向量平行。
前面也提過，零向量垂直於任意向量，因為零向量點乘任何向量都為零。
注意，\(x\) 非零。
在引入行列式求解特徵向量和特徵值之前，我們先看看已學矩陣的特徵向量和特徵值是什麼。
例子1假設給定某個平面，將向量 \(b\) 通過投影矩陣 \(p\) 投影到平面上。投影矩陣的特徵向量和特徵值分別是什麼？
當 \(b\) 是平面上任意向量時，投影的結果還是 \(x\) 。
\[px=x
\]\(p\) 是變換矩陣，此時 \(x\) 是特徵向量，特徵值 \(\lambda=1\)。
垂直於平面的向量（零空間）是特徵向量，特徵值 \(\lambda=0\)
\[px=0
\]例子2
假設有 \(2*2\) 置換矩陣
\[a=\left(
\begin
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end
\right)
\]我們可以求出她的兩個特徵向量和特徵值
\[x_1=\left(
\begin
1 \\
1 \\
\end
\right),\text=\left(
\begin
1 \\
1 \\
\end
\right),\lambda=1
\]\[x_1=\left(
\begin
-1 \\
1 \\
\end
\right),\text=\left(
\begin
1 \\
-1 \\
\end
\right),\lambda=-1
\]特徵值的性質
\(n*n\) 矩陣有 \(n\) 個特徵值
特徵值的和等於對角線的元素和，這個和數叫做"跡（trace）"。
\[\lambda's=a_+a_+a_+...+a_
\]在 \(2*2\) 例子中，一旦找到了乙個特徵值 ,就可以找到另乙個特徵值.
特徵值之積等於行列式
怎麼求解特徵值和特徵向量，此時方程有兩個未知量？
將右側向量移到左邊：
\[(a-\lambda i)x=0
\]對於非零 \(x\) ,相乘以後等於0，我們可以知道 \((a-\lambda i)\) 不可逆，是奇異的。可得
\[|a-\lambda i|=0
\]這個只含有 \(\lambda\) 方程叫做特徵（值）方程。
思路是先解出 \(\lambda\) 。\(\lambda\) 可能不只乙個，而是 \(n\) 個。
解出 \(\lambda\) 之後，取出乙個 \(\lambda\) 代入，利用消元法求解零空間基向量的方法，就可以求解出 \(x\) 。
\[a=\left(
\begin
3 & 1 \\
1 & 3 \\
\end
\right)
\]給定矩陣 \(a\) ，計算特徵值和特徵向量。
\[\begin
|a-\lambda i|=
\left|
\begin
3-\lambda & 1 \\
1 & 3-\lambda \\
\end
\right|=(3-\lambda)^2-1=
0\\\end
\]解得 \(\lambda_1=2\) , \(\lambda_2=4\) .
當 \(\lambda_1=4\) 時，
\[a-4i=\left(
\begin
-1 & 1 \\
1 & -1 \\
\end
\right)
\]該矩陣零空間基向量為
\[x_1=\left(
\begin
1 \\
1 \\
\end
\right)
\]當 \(\lambda_2=2\) 時，
\[a-2i=\left(
\begin
1 & 1 \\
1 & 1 \\
\end
\right)
\]該矩陣零空間基向量為
\[x_1=\left(
\begin
-1 \\
1 \\
\end
\right)
\]對比給定矩陣 \(\left(
\begin
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end
\right)\)和 \(\left(
\begin
3 & 1 \\
1 & 3 \\
\end
\right)\) .
會發現，
如果已知 \(a=\left(
\begin
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end
\right)\) ，$ax=\lambda x $ ,已知此時 \(a\) 的特徵值和特徵向量。
那麼對於\(a』=\left(
\begin
3 & 1 \\
1 & 3 \\
\end
\right)\) ， $(a+3i)x=ax+3x=(\lambda+3) x $
矩陣 \(a\) 加上 \(3i\) ，特徵值加3，特徵向量不變。特徵向量 \(x\) 是兩個矩陣共同的特徵向量。
注意：
如果知道 \(b\) 的特徵值 \(\alpha\)，\(b≠i\) ，已知 $ax=\lambda x $ ，是否可以 通過\(bx=\alpha x\)，知道 \(a+b\) 的特徵值呢？
即 \((a+b)x=(\lambda+\alpha)x\) ?
不行，因為沒有理由 \(b\) 的特徵向量就是 \(x\) .。新矩陣 \(a+b\) 的特徵值不等於 \((\lambda+\alpha)\)
假設乙個 \(2*2\) 正交矩陣
\[q=\left(
\begin
0 & -1 \\
1 & 0 \\
\end
\right)
\]我們知道 跡 \(trace=\lambda_1+\lambda_2=0\) ，行列式為 \(detq=\lambda_1*\lambda_2=-1\)
計算\[det(q-\lambda i)=\left(
\begin
-\lambda & -1 \\
-1 & -\lambda \\
\end
\right)=\lambda^2+1=0
\]解得
\[\lambda_1=i,\lambda_2=-i
\]兩個特徵值是虛數。且互為共軛。
複數將在這裡正是進入這門課。實矩陣的特徵值是有可能是複數的。
如果矩陣是對稱，就不會存在複數特徵值，特徵值是實數。
如果越不對稱，比如上例，\(q^t\) 和 \(q\) 是反對陣，\(q^t=-q\),而對稱矩陣性質告訴我們，對稱矩陣的轉置還是原矩陣，該例子與對稱性質完全相反，這種矩陣的特徵值是純虛數。這時極端情況。
中間則是介於對稱和反對稱之間的矩陣，部分對稱，部分反對稱。
給定矩陣 \(a\)
\[a=\left(
\begin
3 & 1 \\
0 & 3 \\
\end
\right)
\]求這個矩陣的特徵向量和特徵值。
\[det(a-\lambda i)=\left|
\begin
3-\lambda & 1 \\
0 & 3-\lambda \\
\end
\right|=(3-\lambda)(3-\lambda)
\]解得
\[\lambda_1=3，\lambda_2=3
\]將 \(\lambda\) 代入，
\[(a-\lambda) x=\left(
\begin
0 & 1 \\
0 & 0 \\
\end
\right)x=0
\]計算零空間基向量
\[x_1=\left(
\begin
1 \\
0 \\
\end
\right),x_2=nothing
\]\(2*2\) 矩陣，只有乙個無關的特徵向量。
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