首先簡單介紹一些基本概念
矩陣：乙個按照長方陣列排列的複數或實數集合，\(m \times n\)矩陣代表乙個m行n列的矩形陣列
向量：向量是只有一行或一列的矩陣，即乙個\(1 \times n\)或\(m \times 1\)的矩陣
線性方程的基本問題就是解線性方程組
例：\(}
\\\end\right. }\)
分析： 對於二元線性方程組，對應的矩陣表示是
\(}
\text\text\text-1}\\
\text\text\text2}
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\\\end \right] }=}
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令：
\(}
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\end}\)
則原線性方程簡化為:\(ax=b\)
矩陣\(a\)稱為係數矩陣
上例中，一行一行看，每乙個方程都表示二維平面上的一條直線，作圖
兩條直線相較於點\((1,2)\)，也就說從行影象上看，方程組的解是乙個兩條直線的交點
將原方程組轉化成向量形式：
\(}\\
\end \right] }}\right. }+y}
\\\end \right] }=}
\\\end \right] }}\right. }}\right. }}\)
左邊兩個向量，通過\(x\)和\(y\)的線性組合形成了右邊的向量，此時\((1,2)\)是方程組的解，作圖
從列影象上看，方程組的解，是找出左側向量與\(x,y\)的合適組合（即線性組合）得到右側向量
從兩元方程組延伸到三元：
行影象：在三維空間中，三個平面的交點（假設有乙個解）
例：下面是\(}
\\\\
\end\right. }\)的行影象
列影象：通過左側三個向量的線性組合，得到右側向量
綜合行影象與列影象的分析，多元方程組的行影象是對矩陣\(a\)的行進行處理，而列影象是對矩陣\(a\)的列進行線性組合
在這裡思考乙個問題：對於乙個三元方程組（線性方程表示）：
\(ax=x(列1)+y(列2)+z(列3)=b\)
由於\(x,y,z\)都是未知量，它們可能有無數種線性組合，
那麼對於任意的\(b\)，是否都能求出\(ax=b\)？也就是說所有列的線性組合能否覆蓋整個三維空間？
答案是否定的
比如在列影象角度分析，對於乙個方陣（行數和列數相等的矩陣）\(a\)，當三個列向量在同一平面上時（假設方程組有解），這三個列向量的線性組合也在這個平面上，也就是說\(b\)
只能在這個平面上不會覆蓋整個三維空間，這時矩陣\(a\)稱為奇異矩陣，矩陣\(a\)不可逆的；如果三個列向量不共面，那麼它們的線性組合有無數種情況，也就是說\(b\)的取值覆蓋了整個三維空間，這時矩陣\(a\)稱為非奇異矩陣
這是對奇異矩陣和非奇異矩陣幾何理解，後面會再進行深入學習
例：\(}
\text5}\\
\text3}
\end \right] }}\right. }}
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法一：（線性運算）
原式\(}
\\\end \right] }}\right. }+2}
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法二：（行運算）左側矩陣\(a\)的每一行點乘右側向量\(x\)
原式\(}
\\\end \right] }=}
\\\end \right] }}\right. }}\right. }}\)
兩種方法看似相同，但思路不同，第一種方法思路簡單，對於再大點的矩陣運算時不易出錯
例2：\(\text5\text} \right] }}\right. }}
\text4}\\
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線性運算：
原式\(\text4} \right] }}\right. }+5 \times \text5} \right] }}\right. }=\text1 \times 4+5 \times 5} \right] }}\right. }=\text29} \right] }}\right. }}\)
從這兩個例子可以得到結論：矩陣乘以一列結果是一列，一行乘以矩陣結果是一行
第一節 方程組的幾何解釋
求解線性方程組是線性代數得基礎，假設乙個方程得個數是n,未知數得個數也是n.我們舉乙個n 2得例子。2x y 0 x 2y 3 end 2 1 1 2 end right left begin x y end right left begin 0 3 end right 2 1 12 xy 0 3 ...
方程組的幾何解釋
2x y 0 x 2y 3繪圖 直線2x y 0 和 直線 x 2y 3 l 1 2,1 l 2 1,2 l 3 0,3 繪圖 直線l 1 直線l 2和直線l 3 coding utf 8 二維矩陣與列向量相乘 計算矩陣相乘解 a 2,5 1,3 x 1 2 a x 設定引數 a 2 5 1,3 x...
第1課 方程組的幾何解釋
對於方程組 2 x y 0 x 2y 3 而行影象 row picture 就是下面這個圖中所示的兩直線相交。它的列影象 column picture 就像下面的 ax b 這樣的形式 2 1 1 2 x y 03 列影象換個角度考慮就是兩個向量的線性組合 x 2 1 y 12 03 x 1,y 2...