齊次線性方程組
齊次線性方程組(homogeneous systems)是指,ax
=0a x=
0,其中
a a
是m∗n' role="presentation" style="position: relative;">m∗n
m∗n矩陣而
0 0
是rm' role="presentation" style="position: relative;">rmr
m中的零向量.這樣的方程至少有乙個解,即x=
0 x=0
,這個解稱為它的平凡解(trival solution).而重要的是研究它是否有非凡解(nontrivial solution),即滿足ax
=0a x=
0的非零向量
x x
.齊次方程ax
=0' role="presentation" style="position: relative;">ax=
0ax=
0有非凡解,當且僅當方程至少有乙個自由變數.
齊次方程ax
=0a x=
0總可表示為sp
ans pa
n,其中v1
,...
,vp v1,
...,
vp
是適當的解向量.
若唯一解釋零向量,則解集就是$span,
若方程僅有乙個自由變數,解集是通過原點一條直線,
若有兩個自由變數,解集是乙個平面.
非齊次線性方程組
(nonhomogeneous systems)
設方程ax=
b ax=
b對某個
b b
是相容的,
p' role="presentation" style="position: relative;">p
p為乙個特解,則ax
=ba x=
b的解集是所有形如w=
p+vh
w =p
+v
h的向量的集,其中vh
v
h是齊次方程ax
=0a x=
0的任意乙個解.
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