動態規劃數字三角形

學習演算法，個人覺得還是對照著例題來理解效果做好，演算法概念太學術味太濃，個人不太喜歡。今天介紹乙個動態規劃入門例題。這道題來自北大的poj。題目如下：

數字三角形(poj1163)

在上面的數字三角形中尋找一條從頂部到底邊的路徑，使得路徑上所經過的數字之和最大。路徑上的每一步都只能往左下或右下走。只需要求出這個最大和即可，不必給出具體路徑。三角形的行數大於1小於等於100，數字為 0 - 99

輸入格式：

5 //表示三角形的行數接下來輸入三角形

3 8

8 1 0

2 7 4 4

4 5 2 6 5

要求輸出最大和

我們來分析一下這道題該怎麼做

首先肯定要乙個二維陣列來存放三角形

然後我們用d( r, j)來表示第r行第j個數字(r , j從1開始算)

我們用maxsum(r,j)表示d(r,j)到底邊各條路徑的最大值

最後就是要求d(1,1)

我們可以用遞迴來求解

從d(r,j)出發，下一步只能走d(r+1,j)或d(r+1,j+1) ,可以得到如下遞迴式

if ( r == n)                
maxsum(r,j) = d(r,j)  
else      
maxsum( r, j) = max + d(r,j)

由上述遞迴式可以得到如下的**：

#include#includeusing namespace std;
int d[50][50];
int n;
int dp(int r, int j) 
int x = dp(r + 1, j);
int y = dp(r + 1, j + 1);
return max(x, y) + d[r][j];
}int main() 
}	cout << dp(1, 1) << endl;
system("pause");
return 0;
}

不過這段**中有很多重複計算的地方，看圖

當計算7的時候，要往下依次遞迴計算3、8，計算3的時候要遞迴計算8、1，計算8（7下面右邊那個）的時候又要計算一次1，其它的以此類推。這要就導致了很多不必要的重複計算，我們可以保留這些計算結果作為判斷是否計算過的依據，

改進過後的**如下：

#include#includeusing namespace std;
int d[50][50];
int maxsum[50][50];
int n;
int dp(int r, int j) 
if (r == n) 
else 
return maxsum[r][j];
}int main() 
}	cout << dp(1, 1) << endl;
system("pause");
return 0;
}

因為遞迴總是需要使用大量堆疊上的空間，很容易造成棧溢位，我們現在就要考慮如何把遞迴轉換為遞推，讓我們一步一步來完成這個過程。

**如下：

#include#includeusing namespace std;
int d[50][50];
int maxsum[50][50];
int n;
int main() 
}	for (int i = 1; i <= n; i++) 
for (int i = n - 1; i >= 1; i--) 
}	cout << maxsum[1][1] << endl;
system("pause");
return 0;
}

到這裡是不是覺得已經到極致了？錯，還可以繼續優化，不過不是時間上的優化，是空間上的優化，我們可以只用乙個一維陣列來記錄已經得到的值。只要從底層一行行向上遞推，那麼只要一維陣列maxsum[100]即可,即只要儲存一行的maxsum值就可以。看圖。

依照上面的方式，我們可以寫出如下**：

#include#includeusing namespace std;
int d[50][50];
int maxsum[50];
int n;
int main() 
}	for (int i = 1; i <= n; i++) 
for (int i = n - 1; i >= 1; i--) 
}	cout << maxsum[1] << endl;
system("pause");
return 0;
}

至此，該問題已經是最優了。

如有錯誤，請指正。

動態規劃 數字三角形

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