leetcode 96 不同的二叉搜尋樹

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給定乙個整數 n，求以 1 … n 為節點組成的二叉搜尋樹有多少種？

示例:——————————————————————————————————————————

這裡首先說一下什麼是二叉搜尋樹，二叉查詢樹（binary search tree），（又：二叉搜尋樹，二叉排序樹）它或者是一棵空樹，或者是具有下列性質的二叉樹：若它的左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小於它的根結點的值；若它的右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大於它的根結點的值；它的左、右子樹也分別為二叉排序樹。

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1、動態規劃

給定乙個有序序列 1 … n，為了根據序列構建一棵二叉搜尋樹。我們可以遍歷每個數字 i，將該數字作為樹根，1 … (i-1) 序列將成為左子樹，(i+1) … n 序列將成為右子樹。於是，我們可以遞迴地從子串行構建子樹。在上述方法中，由於根各自不同，每棵二叉樹都保證是獨特的。

可見，問題可以分解成規模較小的子問題。因此，我們可以儲存並復用子問題的解，而不是遞迴的（也重複的）解決這些子問題，這就是動態規劃法。

題目問題是計算不同二叉搜尋樹的個數。為此，我們可以定義兩個函式：

g(n): 長度為n的序列的不同二叉搜尋樹個數。

f(i, n): 以i為根的不同二叉搜尋樹個數(1≤i≤n)。

可見，g(n)g(n) 是我們解決問題需要的函式。稍後我們將看到，g(n)g(n) 可以從 f(i, n)f(i,n) 得到，而 f(i, n)f(i,n) 又會遞迴的依賴於 g(n)g(n)。

首先，根據上一節中的思路，不同的二叉搜尋樹的總數 g(n)g(n)，是對遍歷所有 i (1 <= i <= n) 的 f(i, n)f(i,n) 之和。換而言之：

特別的，對於邊界情況，當序列長度為 1 （只有根）或為 0 （空樹）時，只有一種情況。亦即：

給定序列 1 … n，我們選出數字 i 作為根，則對於根 i 的不同二叉搜尋樹數量 f(i, n)f(i,n)，是左右子樹個數的笛卡爾積，如下圖所示:

舉例而言，f(3, 7)f(3,7)，以 3 為根的不同二叉搜尋樹個數。為了以 3 為根從序列 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] 構建二叉搜尋樹，我們需要從左子串行 [1, 2] 構建左子樹，從右子串行 [4, 5, 6, 7] 構建右子樹，然後將它們組合(即笛卡爾積)。巧妙之處在於，我們可以將 [1,2] 構建不同左子樹的數量表示為 g(2)g(2), 從 [4, 5, 6, 7]` 構建不同右子樹的數量表示為 g(4)g(4)。這是由於 g(n)g(n) 和序列的內容無關，只和序列的長度有關。於是，f(3,7) = g(2) \cdot g(4)f(3,7)=g(2)⋅g(4)。概括而言，我們可以得到以下公式：

將公式 (1)，(2) 結合，可以得到 g(n)g(n) 的遞迴表達公式：

為了計算函式結果，我們從小到大計算，因為 g(n)g(n) 的值依賴於 g(0) … g(n-1)g(0)…g(n−1)。

根據以上的分析和公式，很容易實現計算 g(n)g(n) 的演算法。

class solution 
}return num[n];}};

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