代數余子式和伴隨矩陣

入門之後的一篇文章。

啊啊啊這玩意學了我一整天！這什麼菜狗啊！

在 \(n\) 階方陣 \(a=(a_)\) 中，刪去第 \(i\) 行和第 \(j\) 列後所留下的方陣的行列式稱為 \(a_\) 的余子式\(m_\)，而 \(a_\) 的代數余子式為 \(a_=(-1)^m_.\)

代數余子式可以用來算行列式：

真不是因為我懶，主要是這個矩陣我不太會用 markdown 畫出來。懶得搜還不是懶

首先我們用高斯消元計算 \(a\) 的 rank，然後分情況討論。

有這樣乙個公式：\(aa^=|a|i\)，那麼可得 \(a^=|a|a^\)。

我們試著感性證明一波 \(aa^=|a|i\)

首先我們根據左行乘右列，當左邊的行序數和右邊的列序數相等時，由一、代數余子式中的公式可知算出來就是 \(|a|\)。

那麼不相等的時候呢？相當於算的是：\(\sum_^n a_a_(i\not=r)\)，相當於計算將最初的方陣 \(a\) 的第 \(i\) 行換為第 \(r\) 行的方陣後，計算它的行列式，由於有兩行相等，\(a\) 不滿秩，行列式為 0，所以上面那個式子算出來就是 0。

顯然此時刪掉一行一列之後仍然不滿秩，所以 \(a^*=o,\operatorname(a^)=0\)。

麻煩的來了。

首先由 \(\operatorname(a)=n-1\) 可知 \(\dim\ker(a)=1\)。於是存在非零行向量和列向量 \(p,q\) 使得 \(pa=0,aq=0\)，\(p,q\) 可以高斯消元求出。(這裡有點類似於高中數學求平面的法向量)

由於行列最後得出的結論類似，所以我們這裡只以列為例講解。

\(aq=0,\dim\ker(a)=1,\operatorname(a^*)=1\)

可得 \(a*\) 的每一行都是第一行的若干倍數，又因為 \(\operatorname(a)，所以 \(|a|=0\)。

\(|a|=a_a_+a_a_+...+a_a_=0\)

\(a_q_1+a_q_2+...+a_q_n=0\)

由 \(\dim\ker(a)=1\) 可知 \(\frac}=\frac}=...=\frac}\)。(當然這裡如果有0就不能寫成分式形式，但是為了美觀還是這麼寫)

那麼行的結論同理可得：\(\frac}=\frac}=...=\frac}\)

所以為了求出所有的 \(a_\)，我們需要找到 \(r,c\) 使得 \(p_r,q_c\not=0\)，那麼可得 \(a_=\fracq_}}a_\)，至於 \(a_\) 直接暴力 \(o(n^3)\) 求即可。

題目大意：求方陣的余子式。

vjudge

openjudge

差點就拿ddg的**開拍了

//12252024832524
#include #define tt templateusing namespace std; 
typedef long long ll;
const int maxn = 200;
const int mod = 998244353;
int n;
ll read()
while(c >= '0' && c <= '9')
return x * f;
}tt void put1(t x)
tt void put(t x,char c = -1)
tt t max(t x,t y)
tt t min(t x,t y)
tt t abs(t x)
int qpow(int x,int y)
return ret;
}int tmp[maxn][maxn];
struct matrix
void get(int x)
void print()
void add(int r1,int r2,int k)
void mul(int r,int k)
void mul(int k)
void trans()
matrix transnd()
int det(bool ri = 1)//whether ruin the previous one
if(!a[i][i]) 
for(int j = i+1;j < n;++ j)
if(a[j][i])
ret = 1ll * ret * a[i][i] % mod;
}		if(!ri) for(int i = 0;i < n;++ i) for(int j = 0;j < n;++ j) a[i][j] = tmp[i][j];
return (ret+mod)%mod;	}	
int rank(bool ri = 1)
if(!a[i][i]) 
for(int j = i+1;j < n;++ j)
if(a[j][i])
}		if(!ri) for(int i = 0;i < n;++ i) for(int j = 0;j < n;++ j) a[i][j] = tmp[i][j];
return ret;	}	
matrix inv(bool ri = 1)
if(!a[i][i]) break;//impossible
for(int j = 0;j < n;++ j)
if((i^j) && a[j][i])
}		for(int i = 0;i < n;++ i) ret.mul(i,qpow(a[i][i],mod-2));//a[i][i] = 1;
if(!ri) for(int i = 0;i < n;++ i) for(int j = 0;j < n;++ j) a[i][j] = tmp[i][j];
return ret;	}	
matrix getq(bool ri = 1)//aq = 0, to get q
if(!a[i][i]) 
break;
}for(int j = i+1;j < n;++ j)
if(a[j][i])
}		if(!ri) for(int i = 0;i < n;++ i) for(int j = 0;j < n;++ j) a[i][j] = tmp[i][j];
return ret;	}	
matrix del(int r,int c)//delete row r & column c
}a,b,p,q;
int main()
else if(rk < n-1)
else
for(int i = 0;i < n;++ i) if(q.a[i][0]) 
b.n = n;
b.a[r][c] = ((r+c) & 1 ? mod-1ll : 1) * a.del(r,c).det() % mod;
int iv = 1ll * qpow(p.a[0][r],mod-2) * qpow(q.a[c][0],mod-2) % mod;
for(int i = 0;i < n;++ i) 
for(int j = 0;j < n;++ j)
b.a[i][j] = 1ll * iv * p.a[0][i] % mod * q.a[j][0] % mod * b.a[r][c] % mod;
}		for(int i = 0;i < n;++ i)
for(int j = 0;j < n;++ j)
put((b.a[i][j] * ((i+j) & 1 ? -1 : 1) + mod) % mod,j == (n-1) ? '\n' : ' ');
putchar('\n');
}	return (0-0);
}

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