乙個矩陣的行列式我們定義為\(\sum_(-1)^ \times\prod_^na_\)
其中\(\sigma(p)\)表示\(p\)的逆序對個數
高斯消元
\(m_\)表示遠矩陣去除第\(i\)行和第\(j\)列之後剩下矩陣的行列式
我們稱\(m_=m_\times (-1)^\)為代數余子式
任意乙個\(n\)階矩陣的行列式可以用某一行或者某一列的代數余子式展開，即
\[|a|=\sum_^nm_\times a_
\]證明
首先考慮有乙個\(n\)階矩陣
\[a =
\begin
a_ & a_ & a_ &\ldots & a_ &\\
a_ & a_ & a_ & \ldots & a_ &\\
& & \ldots & & &\\
a_ & a_ & a_ & \ldots & a_
\end
\]考慮\(|a|\)可以用某一行按照以下方式展開
\[\begin
a_ & a_ & a_ &\ldots & a_ &\\
a_ & a_ & a_ & \ldots & a_ &\\
& & \ldots & & &\\
a_ & 0 & 0 & \ldots & 0 &\\
& & \ldots & & &\\
a_ & a_ & a_ & \ldots & a_
\end
+\begin
a_ & a_ & a_ &\ldots & a_ &\\
a_ & a_ & a_ & \ldots & a_ &\\
& & \ldots & & &\\
0 & a_ & 0 & \ldots & 0 &\\
& & \ldots & & &\\
a_ & a_ & a_ & \ldots & a_
\end
+\ldots
+\begin
a_ & a_ & a_ &\ldots & a_ &\\
a_ & a_ & a_ & \ldots & a_ &\\
& & \ldots & & &\\
0 & 0 & 0 & \ldots & a_ &\\
& & \ldots & & &\\
a_ & a_ & a_ & \ldots & a_
\end
\]這個直接根據行列式的定義我們可以得到\(|a|\)的某種展開式
\[|a|=\sum_^na_\times m_\times (-1)^y
\]其中\(y\)是乙個未知變數，接下來我們考慮\(y\)的取值應該是什麼
首先考慮乙個這樣矩陣的行列式
\[\begin
a & 0 \\
b & c\\
\end
\]明顯這樣的矩陣的行列式就是\(|a|\times |c|\)
然後考慮行列式有個性質:交換矩陣中任意兩行或者兩列，行列式取反。那麼我們考慮將\((3)\)中矩陣進行交換變成類似\((5)\)中的矩陣，即變成
\[\begin
a_ & 0 & 0 & \ldots & 0 &\\
a_ & a_ & a_ &\ldots & a_ &\\
a_ & a_ & a_ & \ldots & a_ &\\
& & \ldots & & &\\
a_ & a_ & a_ & \ldots & a_
\end
\]顯然他的行列式就是\(a_\times m_\)，發現我們一共會進行\(x+i-2\)次交換，那麼對應會原來的矩陣他的行列式就是\(a_\times m_\times (-1)^\)，因為\(m_\times (-1)^=m_\times (-1)^=m_\)，所以我們就證明了\((1)\)式
對於乙個矩陣的代數余子式，如果我們將矩陣的某一行\(i\)與代數余子式的某行\(j\)相乘，當\(i=j\)時，結果為\(|a|\)，否則結果為\(0\)
證明考慮任意乙個\(n\)階矩陣
\[a=
\begin
a_ & a_ & a_ &\ldots & a_ &\\
a_ & a_ & a_ & \ldots & a_ &\\
& & \ldots & & &\\
a_ & a_ & a_ & \ldots & a_
\end
\]考慮他的行列式的展開式\(|a|=\sum_^nm_\times a_\)，如果我們將矩陣中除第\(x\)行之外的任意一行複製下來替換成第\(x\)行，那麼行列式為\(0\)，並且這一行的代數余子式不變，所以就有\(\sum_^nm_a_=0\)
對於乙個矩陣\(a\)，我們設他的代數余子式矩陣為\(m\)，那麼代數余子式\(m\)構成如下矩陣
\[\begin
m_ & m_ & m_ &\ldots & m_ &\\
m_ & m_ & m_ & \ldots & m_ &\\
& & \ldots & & &\\
m_ & m_ & m_ & \ldots & m_
\end
\]那麼我們記\(a^*\)表示\(a\)的伴隨矩陣，即代數余子式矩陣的轉置
對於乙個矩陣\(a\)，如果\(a\)可逆，那麼存在下面等式
\[aa^*=|a|i
\]證明
考慮代數余子式的性質：對於乙個矩陣的代數余子式，如果我們將矩陣的某一行\(i\)與代數余子式的某行\(j\)相乘，當\(i=j\)時，結果為\(|a|\)，否則結果為\(0\)
因為\(a^*\)實際上就是代數余子式矩陣的轉置，那麼當我們用\(a\)去右乘\(a^*\)得到的矩陣，只有在\(i=j\)時才會有值，且值為\(|a|\)，其他位置都是\(0\)
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