最近, 老有同學問, (線性)代數應該怎樣複習呀. 本期就來談談我對這門課程的看法, 希望對大家有所幫助.
線代故事梗概大家不妨回想一下之所以有這門課程的「罪魁禍首」是什麼? 那當然是
線性方程組
如果沒有線性方程組, 就沒有這門課程.
當然有人會說, 中國人在上千年前的《九章算術》中已經解釋了怎麼解線性方程組了, 為什麼到近代才有線性代數呢? 是的, 如果我們只想知道線性方程組的解是什麼, 《九章算術》就已經告訴我們解法了, 就是我們課本裡提到的gauss消元法. 這個方法用的就是矩陣的方法.
從字面上講，感覺「方程」跟「矩陣」好像差不多是乙個意思.
但是, 如果僅僅是將一些數字整齊的排在一起做一些初等行列變換, 這個矩陣好像也沒有什麼好玩的.
下面我們就來看下矩陣(方程)是怎樣一步步被「玩壞」的.
矩陣乘法 這是矩陣變得「好玩」的最「刻骨銘心」的時刻. 矩陣有了「乘法」後，一切都變得不同了.
初等行變換可以看成在矩陣左邊乘以相應的初等矩陣;
可以玩可逆矩陣, 以及可逆矩陣的各種刻畫，如: 它們正好是初等矩陣的乘積; 方陣可逆當且僅且秩與階數相等.
還可以利用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣.
行列式 方陣
a的行列式是否為零可以用來判斷相應的線性方程組
ax = 0是否只有只唯一解.
矩陣乘積的行列式等於它們行列式的乘積. 這使得矩陣乘法的問題和行列式的問題有時候可以相互轉化.
比如: 可逆的矩陣行列式一定非零, 反過來也成立, 實際上, 如果a的行列式非零, 它的逆矩陣可以用它的伴隨矩陣寫出來
係數矩陣可逆的線性方程組的克萊姆規則是用矩陣行列式描述的.
向量空間 向量空間的出現進一步豐富的矩陣的玩法.
向量空間與矩陣的相互轉化關係是這樣的. 取n維向量空間v 的一組基, 對於v 中向量組 α1,⋅⋅⋅,αm, 分別取它們在這組基下的座標a1,⋅⋅⋅,am, 將它們拼在一起組成矩陣a.
原向量組的問題可轉化為矩陣a的問題. 例如: α1,⋅⋅⋅,αm線性無關, 當且僅當線性方程組ax = 0只有零解, 當且僅當a的秩是m.
要尋找α1,⋅⋅⋅,αm的極大線性無關組也可以從矩陣a來考慮, 可對a進行初等行變換(就像guass 消元法一樣), 將a變為a′ = [a′1,⋅⋅⋅,a′m]. 這時, 與a′的列向量的極大線性無關組對應的α1,⋅⋅⋅,αm中的向量就組成其極大線性無關組.
由於最常見的向量空間是像ℝm這樣的空間, 它裡面的每個向量都是m個實數的乙個序列. 如果把n個這樣的向量排成n列, 我們就得到乙個m行n列的矩陣.
矩陣和向量空間的還有乙個重要的聯絡是: 假設a是乙個n列的矩陣, 齊次線性方程組ax = 0的所有解組成乙個向量空間, 稱為ax = 0的解空間, 記為ker(a). 我們知道
dim ker(a) = n−rank(a)
乙個矩陣的秩的看法也變得更加豐富: 假設
a是乙個
m行n列的矩陣.
a的秩有下面幾種看法:
如果a可以通過初等變換變為(i,i), i = 1,⋅⋅⋅,r為1, 其餘位置全為0 , 那麼rank(a) = r.
如果a為非零矩陣, a的秩等於a的非零子式的最大階數.
a的秩可以看成其所有列(或者行)組成的向量組的最大線性無關組的向量個數.
a的秩可以看成其所有列(或者行)生成的向量空間的維數.
線性變換 線性變換是乙個向量空間
v 自己到自己的保持線性組合的對映
σ. 取定向量空間
v 的一組基, 考慮
σ在這組基下的矩陣. 這樣
σ的問題同樣可以轉化為矩陣
a的問題.
當然這裡取不同的基, 得到的矩陣不一樣(但它們彼此相似). 尋找那些相對簡單的矩陣, 即相似標準型的艱辛過程成了這一章的主要內容.
用到的方法主要還是矩陣和線性方程組. 如: 方陣a的特徵值和特徵向量, 分別是求
fa(x) = |xi −a|的根
λ和解線性方程組
(a−λi)x = 0如果要完全讀懂這一部分的內容, 需要很花費一番功夫.
本來二次型的樣子是這樣的
q(x1,x2) = 2x1
2 + 3x2
2 + 4x1x2但在那些「挖空心思」想玩矩陣的眼裡是這樣的
用線性替換將二次型化為只有平方項的形式, 等價於將中間矩陣合同到乙個對角矩陣.
這裡有個巨大的「坑」需要注意: 實對稱矩陣合同到對角矩陣歐氏空間中有別的辦法.
對於乙個實對稱矩陣a, 如果要求找乙個正交矩陣u使得utau是對角矩陣, 不能用這裡初等變換的方法.
歐氏空間 歐氏空間
v 是實數
ℝ上的向量空間，同時有乙個內積
(−,−) : v ×v → ℝ它是雙線性, 對稱, 正定的.
有了這個內積, 我們在初等數學中學到的向量的內容都可以在歐氏空間中實現: 向量長度, 兩個向量夾角, 垂直等等.
歐氏空間上保持向量長度的線性變換無疑是我們最感興趣的. 這樣的線性變換稱為正交變換.
我們同樣希望將正交變換的問題轉化為矩陣的問題. 但由於正交變換是一種「來之不易」的變換, 它配得一上種「漂亮」的矩陣. 如果我們隨便找一組基, 再考慮正交變換在這組基下的矩陣的話, 會有「暴殄天物」的風險.
最終，我們發現，如果為歐氏空間找一組像直角座標系那樣的基: 相互正交且都是單位向量, 稱為規範正交基, 那麼正交變換在規範正交基下的矩陣就是正交矩陣, 即滿足utu = i的實數矩陣.
沿著這個方向，你會問: 怎樣找一組規範正交基? 答案就是 schmidt 正交化方法.
怎樣找出或者判斷正交矩陣? 只要矩陣的列向量組成規範正交基即可.
歐氏空間中, 還有一種重要的線性變換是對稱變換. 它在規範正交基下的矩陣是實對稱矩陣.
對稱實矩陣a有個很重要的特點是, 存在乙個正交矩陣u, 使得utau = λ是乙個對角矩陣. 注意到此時ut = u−1, 因此a與λ既是相似, 又是合同.
怎樣尋找這樣的u? 從書中找找答案吧.
要注意和實二次型那裡的方法對比, 看看這兩者的區別.
線代「硬核科技」
如果要評選線性代數中最「基本」, 最「硬核」的技術, 我想應該選下面兩個, 這兩個基本知識不掌握熟練, 線性代數不可能學得好.
1. gauss 消元(加減消元)法.
2. 線性方程組ax = b的解的結構.
特別是齊次線性方程組ax = 0的基礎解系.
從上面的梗概可以看出, 幾乎所有的問題都與這兩個知識相關.
「矩陣」的看法假設
a是乙個
m行n列的實數矩陣, 在不同的場景下，我們通常需要以不同的視角來看待
a. 1. 在解線性方程組ax = b時，我們把a和b拼在一起形成線性方程組的增廣矩陣(a,b), 然後對這個增廣矩陣做初等行變換. 這是我們看a最普通的視角: mn個數字排在一起.
2. 有時候我們需要把a看成是列(或者行)向量拼在一起. a的列向量都是ℝm中的向量, 它們的所有線性組合組成ℝm的乙個子空間, 稱為a的列空間, 記為col(a);
類似的, a的行都可以看成ℝn中的向量, 它們的所有線性組合組成ℝn的乙個子空間, 記為row(a).
這時a的秩rank(a)與其列空間和行空間的維數相同. 這樣就可以把向量空間的方法用來解決與矩陣秩相關的問題.
比如: 如果b是另外乙個矩陣且ba = o, 要求證明
rank(a) + rank(b) ≤ m這時, 如果將
a看成若干個列向量拼起來的, 我們就很容易看出
a的列向量都是齊次線性方程組
bx = 0的解, 從而
col(
a)包含在
bx = 0的解空間ker(
b)中. 因此
b也是m
× n的矩陣，說明下
或者b是乙個m行的矩陣, 證明下
3. 當然, 還有的時候我們要將方陣a看作線性變換, 它將α映為aα.
最後幾點tips線性代數的特點是:
概念多, 概念之間關係複雜. 任何試圖在幾分鐘之內掌握所有知識點都是徒勞的. 如果想要比較好的掌握這些知識, 比較有效的辦法是.
分章節列出各個知識點, 以及這些知識點之間的關係圖.
針對每個知識點, 舉1-2個例子或者例題來理解這個知識點.
做適當的練習題，特別是證明題, 增加對知識點的應用能力.
最後, 記得我們的宗旨: 盡量把問題轉化為矩陣和線性方程組的問題.
伴隨矩陣例題 線性代數2 3逆矩陣
2.3逆矩陣 對於階矩陣如果有乙個階矩陣使得則稱矩陣是可逆的，並把矩陣稱為的逆矩陣.注 若是可逆矩陣，則的逆矩陣是唯一的.設求的逆矩陣.課堂索引 04 第二章 矩陣的運算 2.4.1逆矩陣 1 定義及計算 矩陣可逆的充要條件是，且其中為矩陣的伴隨矩陣.下列矩陣是否可逆?若可逆,求出其逆矩陣.課堂索引...
線性代數複習
線性方程組 linear equations 形如a1x1 a2x2 a3x3 anxn b的方程是線性方程，其中a1到an通常是已知數。線性方程組是由乙個或幾個包含相同變數的x1.x2.xn的線性方程組成的。線性方程組的一組解是一組數 s1.s2.sn 解得集合稱之為解集。具有相同解集的線性方程組...
線性代數複習
正交矩陣 它的轉置矩陣就是它的逆矩陣，qtq qqt i 對角矩陣 方陣m所有非主對角線元素全等於零的矩陣。主對角線元素 元素兩個下標相等 svd，奇異值分解 矩陣m u vt，u和v是正交矩陣，是非負對角陣，對角線上的元素即為m的奇異值。m 是m n,u是m m,是m n,vt是n n 特徵值與特...