1.若求 \(\binom \ \mathrm \ p\)，如果模數 \(p，不能像平常一樣直接求階乘+逆元，因為會直接變成 \(0\)。這時可以用 lucas 定理，或亂搞。
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feature 1（吸收公式）
\(\binom =\frac \binom \)，\(k\binom =n\binom \)，\(\binom /n=\binom /k\)。
pf：暴力展開或亂搞。（
feature 2（extended 吸收公式）
\((n-k)\binom =n\binom \)。
pf：隨便搞搞換個元即可。
feature 3：\(\sum_^nk\binom =n2^\)。
pf：考慮 \(n\) 個數中選 \(k\) 個，每個數均攤貢獻 \(1\)。就等於考慮每個數，其他數有 \(2^\) 種選法，那麼這個數就有 \(2^\) 的貢獻。
feature 4：\(\sum_^nk^2\binom =n(n+1)2^\)。
pf：利用 feature 1：\(\sum_^nk^2\binom =n\sum_^nk\binom =n(\sum_^n(k-1)\binom +n\sum_^n\binom )=n((n-1)\sum_^n\binom +n\sum_^n\binom )=n(n-1)2^+n2^=n(n+1)2^\)，即證。
feature 5（變上項求和）：\(\sum_^n\binom =\binom \)。
pf：影象法。
如圖，左邊本質相當於 \((0,0)\) 走到 \((k,0\sim (n-k))\) 的總方案數。找到 \((0,0)->(k+1,n-k)\) 路徑上最後乙個 \(x=k\) 的點，發現它只能往右走一格再往上走，也就是說只有一種方案。所以其路徑數就是左式。
feature 6：
\(\binom \binom =\binom \binom \)。
pf：組合意義即可。
feature 7：
\(\sum_^r\binom \binom =\binom \)。
pf：組合意義即可。
feature 8（extanded feature 7）：
\(\sum_^m\binom m k\binom n k=\binom \)。
pf：即證 \(\sum_^m\binom m \binom n k=\binom \)，由 feature 7 得證。
feature 9：
\(m\) 為奇數，\(\sum_^\binom m k=2^/2=2^\)。
\(m\) 為偶數，\(\sum_^\binom m k=(2^+\binom m )/2\)。
pf：其實還是利用了組合數的對稱性，\(\binom =\binom \)。（很優美）
5左式的組合意義為從 \(n\) 個數中選 \(k\) 個其中最後三個數至少有乙個被選的方案數。
對應右式的選數的最後乙個位置在 \(n\)、\(n-1\)、\(n-2\) 的方案數和。
6\(n\) 為奇數時所有的組合數係數和為 \(0\)，原式 \(=0\)。
\(n\) 為偶數時發現構造這個 \(\binom ^2\) 比較棘手。然後不會等會補。
7way1：
\(=\binom \binom +\binom \binom +\binom \binom +\binom \binom \)。
由組合意義知 \(=\binom \)。
way2：
\(=\binom +2\binom +\binom \)
\(=\binom +\binom \)
\(=\binom \)
本質是楊輝三角。（？
8即證 \(\binom (r-k)=\binom r\)。
令 \(t = r-k\)。
即證 \(\binom t=\binom r\)。發現這就是那啥公式。（當然也可以暴力展開。
9發現我們很想把 \(\binom (k+1)\) 化成標準形式（？，於是想到分子分母同乘 \(n+1\)。
原式=\(\frac =\frac \)。
10pro1：即欽定最後乙個數選**。
pro2（組合意義）：考慮 \(m^2\) 即長度 \(m\) 的數列中的無序二元組個數，令其為 \((a,b)\)。若 \(a=b\)，這樣的組合有 \(\binom \) 個。若 \(a\ne b\)，這樣的組合有 \(2\binom \) 個，即證。
11組合意義同上：\(a=6,b=6,c=1\)。
12number of ways
\(\sum_^n\sum_^n\binom \)
利用上面的 feature 5，
\(=\sum_^n(\binom +\binom -1)\)（\(-1\) 是因為兩種情況的交集為 \(1\)）
\(=\sum_^n(\binom +\binom -1)\)
\(=2\times \binom -n\)
cf407c curious array
看著自然想到差分或者區間修改查詢。但這裡累加的數並不是等差的/相同的，不好做。
所以我們需要知道這樣乙個性質：
如圖，做 \(k\) 次字首和後，得到組合數 \(\binom \)。
於是我們反著來，令修改區間為 \([l,r]\)，組合數下標為 \(k\)。在 \((k+1,l)\) 處加 \(1\)，但是這樣肯定會產生多餘的貢獻。由於 \(k\) 很小，所以我們在後面隨便減減就可以啦~這裡值得學習的地方還是很多，只不過我懶得打了。（
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