Lucas定理與大組合數的取模的求法總結

首先給出這個lucas定理：

a、b是非負整數，p是質數。ab寫成p進製：a=a[n]a[n-1]...a[0]，b=b[n]b[n-1]...b[0]。

則組合數c(a,b)與c(a[n],b[n])*c(a[n-1],b[n-1])*...*c(a[0],b[0]) modp同餘

即：lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p,p)

這個定理的證明不是很簡單，我一直想找個很好的張明，但是，沒找到，昨天看到了乙個解題報告，基本上可以說明白這個lucas定理是怎麼回事了，具體的是說：

以求解n! % p為例，把n分段，每p個一段，每一段求的結果是一樣的。但是需要單獨處理每一段的末尾p, 2p, ...，把p提取出來，會發現剩下的數正好又是(n / p)!，相當於劃歸成了乙個子問題，這樣遞迴求解即可。

這個是單獨處理n!的情況，當然c(n,m)就是n!/(m!*(n-m)!)，每乙個階乘都用上面的方法處理的話，就是lucas定理了，注意這兒的p是素數是有必要的。

lucas最大的資料處理能力是p在10^5左右，不能再大了，hdu 3037就是10^5級別的！

對於大組合數取模，n,m不大於10^5的話，用逆元的方法，可以解決。對於n,m大於10^5的話，那麼要求p<10^5，這樣就是lucas定理了，將n,m轉化到10^5以內解。

然後再大的資料，我就不會了！

貼乙個例題的**，方便以後看。

hdu 3037

將不大於m顆種子存放在n顆樹中，問有多少種存法。

首先是不大於m顆種子，我沒可以認為少於m的那些種子存放在了第n+1顆樹上，這樣的話，問題就轉化成了將m顆種子存放在n+1顆樹上的方案數。ok這個是組合數學裡面的公式，亦即插板法，也就是x1+x2+x3+……+xn+1 = m;ok，答案是c(n+m,m);

然後就是上面說的lucas定理解決大組合數問題了

[cpp]view plain

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#include

usingnamespacestd;

#define n 100010

longlongmod_pow(inta,intn,intp)

returnret;

}longlongfactorial[n];

voidinit(longlongp)

longlonglucas(longlonga,longlongk,longlongp) //求c(n,m)%p p最大為10^5。a,b可以很大！

returnre;

}intmain()

return0;

}