首先給出這個lucas定理：
a、b是非負整數，p是質數。ab寫成p進製：a=a[n]a[n-1]...a[0]，b=b[n]b[n-1]...b[0]。
則組合數c(a,b)與c(a[n],b[n])*c(a[n-1],b[n-1])*...*c(a[0],b[0]) modp同餘
即：lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p,p)
這個定理的證明不是很簡單，我一直想找個很好的張明，但是，沒找到，昨天看到了乙個解題報告，基本上可以說明白這個lucas定理是怎麼回事了，具體的是說：
以求解n! % p為例，把n分段，每p個一段，每一段求的結果是一樣的。但是需要單獨處理每一段的末尾p, 2p, ...，把p提取出來，會發現剩下的數正好又是(n / p)!，相當於劃歸成了乙個子問題，這樣遞迴求解即可。
這個是單獨處理n!的情況，當然c(n,m)就是n!/(m!*(n-m)!)，每乙個階乘都用上面的方法處理的話，就是lucas定理了，注意這兒的p是素數是有必要的。
lucas最大的資料處理能力是p在10^5左右，不能再大了，hdu 3037就是10^5級別的！
對於大組合數取模，n,m不大於10^5的話，用逆元的方法，可以解決。對於n,m大於10^5的話，那麼要求p<10^5，這樣就是lucas定理了，將n,m轉化到10^5以內解。
然後再大的資料，我就不會了！
貼乙個例題的**，方便以後看。
hdu 3037
將不大於m顆種子存放在n顆樹中，問有多少種存法。
首先是不大於m顆種子，我沒可以認為少於m的那些種子存放在了第n+1顆樹上，這樣的話，問題就轉化成了將m顆種子存放在n+1顆樹上的方案數。ok這個是組合數學裡面的公式，亦即插板法，也就是x1+x2+x3+……+xn+1 = m;ok，答案是c(n+m,m);
然後就是上面說的lucas定理解決大組合數問題了
#include #include #include using namespace std;
#define n 100010
long long mod_pow(int a,int n,int p)
return ret;
}long long factorial[n];
void init(long long p)
long long lucas(long long a,long long k,long long p) //求c(n,m)%p p最大為10^5。a,b可以很大！
return re;
}int main()
return 0;
}
Lucas定理 組合數取模
a b是非負整數，p是質數。ab寫成p進製 a a n a n 1 a 0 b b n b n 1 b 0 則組合數c a,b 與c a n b n c a n 1 b n 1 c a 0 b 0 modp同餘 即 lucas n,m,p c n p,m p lucas n p,m p,p 然而如果...
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