CSP202104 4 校門外的樹

原題點我

打眼一看，感覺是個dp，而我的dp很菜（其實不管什麼都很菜），看到區間就想到區間dp，導致有一點思路，但是無法實現。實際上我們不關心中間的某一段的種樹情況，只需要知道從第乙個障礙物開始到最後乙個障礙物結束的種樹方案，因此只需要一維陣列。

用\(f_i\)表示從第乙個障礙物到第\(i\)個障礙物的總方案數，那麼很容易寫出\(f_i = \sum_^\)，其中\(calc(i, j)\)表示第\(i\)個障礙物到第\(j\)個障礙物之間的方案數。假設\(f_1\)到\(f_\)都已經求出來，那麼求\(f_i\)就只需要求出\(calc(i, j)\)。

現在我們設法寫出\(calc\)函式。顯然，對於中間沒有障礙物的兩個障礙物來說，他們之間的方案數就是兩個障礙物之間距離的約數（不包括自己）的個數。舉例：設兩個障礙物的座標分別是\(a_i\)和\(a_\)，那麼\(calc(i + 1, i) = sizeof(x)\)，其中\(x\)表示\(a_ - a_i\)的約數（不包括自己）所組成的集合。那麼對於中間有障礙物的兩個障礙物來說呢？因為在dp的過程中，在列舉左端點\(j\)時，右端點\(i\)是不動的，所以我們就以右端點為基準。顯然，在集合x中的數都不能再作為現在的備選答案了，因為若選擇這些數作為答案，則從右端點開始計算，必將在之前的左端點處種下一棵樹，但實際上這是非法的操作。同樣地，之前的兩個障礙物之間的距離也不能作為備選答案。

具體來說，建立乙個初始為空的集合\(y\)，從\(j = i - 1\)開始列舉倒序列舉\(j\)，每次都找出\(a_i - a_j\)的約數所組成的集合\(z_j\)，對於\(z_j\)中的每乙個元素，檢查它是否在集合\(y\)中，若在集合\(y\)中，則表明以這個元素作為間隔去種樹會在某乙個障礙物處種數，所以不能計入答案，若不在集合\(y\)中，則可以計入答案，並將其插入集合\(y\)中，處理完後，還要把\(a_i - a_j\)也加入集合中。

初始狀態： \(f_1 = 1\) 最終狀態： \(f_n = ?\)

#include #include #include #include #include #define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 1e4 + 10;
const int maxm = 1e5 + 10;
const int m = 1e9 + 7;
int a[maxn];
vectorpr[maxm];
int n;
bool vis[maxm];
ll f[maxn];
ll calc(int p, int q);
int main()
printf("%lld\n", f[n] % m);
}ll calc(int p, int q)
vis[a[p] - a[q]] = true;
return ret % m;
}

倒序列舉\(j\)是比較關鍵的操作，想到這一步的原因是兩個相鄰的障礙物之間的方案數比較容易計算，而之後擴充套件到不相鄰的障礙物時，非法集合中的元素只增多不減少，比較容易維護。

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