這個積分要化為二重積分才能做
就是先算[∫e^(x²)dx]^2
∫∫e^x²e^y²dxdy
=∫∫e^(x²+y²)dxdy再運用極座標變換r^2=x^2+y^2
dxdy=rdrdθ∫∫e^(x²+y²)dxdy=∫∫e^r^2*rdrdθ (注意到θ∈[0,2π])
＝1/2e^r^2*2π＝πe^r^2+c
所以∫e^x²dx＝√（πe^r^2+c）
連續函式，一定存在定積分和不定積分；若在有限區間[a,b]上只有有限個間斷點且函式有界，則定積分存在；若有跳躍、可去、無窮間斷點，則原函式一定不存在，即不定積分一定不存在。
可以想到e^(x²)dx
再有乙個x就可以，剛好在極座標系上可以多乙個rdrdθ，替換積分變數之後積分不變，相乘之後轉換為極座標系下的不定積分最方便
x^2e^(-x^2)的積分怎麼求
x^2*e^(-x^2)dx =-(x/2)d(e^(-x^2))由上式用"分部積分公式",得到前面一部分是-(x/2)*(e^(-x^2))l上面正無窮,下面負無窮,這一項的值為零,後面一部分還是乙個反常（廣義）積分,就是積分(1/2)e^(-x^2)dx,從負無窮到正無窮.這一部分需要用到二重積分,不能直接計算,我們先算其平方,寫成兩個相同積分的乘積,然後把其中乙個積分的積分變數由原來的x變成y.這樣就成了乙個累次積分,再把這個累次積分轉換成二重積分,此時積分中的微分變成是dxdy,被積函式是(1/4)e^(-x^2-y^2)再引入一般的極座標變換,變數變成r和θ,被積函式是(1/4)re^(-r^2),微分是drdθ,r從0到正無窮,θ是從0到2π.到這一步的積分你應該可以自己計算出來了,結果是π/4.最後再開方得到原來積分的結果是√π/2 .
化最小值小於、最大值大於為1-最小值大於等於、1-最大值小於等於，（去尾部）
2.1 切比雪夫不等式與直觀感受
切比雪夫不等式是這麼寫的：
其中 ，
是期望，
是標準差。
如果均值已知 滿自由度 /n 如果均值也不知道 那麼一般來說要拿乙個樣本去替代總體 自由度就少乙個/n-1
兩個獨立正態分佈的隨機變數的線性組合仍服從正態分佈。若總體服從正態分佈 ,則樣本均值與樣本方差是相互獨立的。不僅正態分佈兩個獨立，所有樣本取樣的均值和方差都獨立。定理，大學證明不了
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概率論筆記
注 本文用 表示並運算，表示交運算，a 表示a的逆事件 樣本空間 乙個試驗中所有可能情況組成的集合 事件的關係與運算 a包含於b a發生 b發生 a並b a與b的和事件 a或b發生 a交b a與b的積事件 ab同時發生 a b a與b的差事件 a發生b不發生 a b互斥 不相容 a交b 空集 a b...