概率論應用

條件概率公式

在事件b已經發生的條件下，a發生的概率 \(p(a|b) = \frac\)

全概率公式

\(p(b) = p(bω) = p[b(\bigcup_^a_i)] = p(\bigcup_^a_i b) = \sum_^p(a_ib)=\sum_^p(a_i)p(b|a_i)\)

貝葉斯公式

\(p(a_i | b) = \frac = \frac\)

由\(p(b) = \sum_^p(a_i)p(b|a_i)\)得

\(p(a_i | b) = \frac^p(a_i)p(b|a_i)}\)

期望

的門則帶你離開迷宮。每次你都沒有經驗沒有記憶。選擇每扇門的概率相等。求走出迷宮

的時間期望值。

思路：解法一： 假設走出迷宮的期望值為e，

選擇到正數的門，走出的期望值為 $t1 \frac $

選擇到負數的門，走回到起點（起點走出的期望為e）,所以走出的期望值為 \((t2 + e) \frac\)

於是\(e =t1 \frac+(t2 + e) \frac\)

化簡一下 $e = \frac} $

解法二：

走出的時間期望值e = 走出去次數的期望 × 平均時間

假設正的門有\(k\)個，則走出的概率為\(\frac\),於是走出去的次數的期望為\(\frac \)(列式子，錯位相減，求極限即可得出)

平均時間 = \(\frac}\)

e = \(\frac \frac} = \frac}\)

#include#define ll long long

using namespace std;
int gcd(int x,int y)
int main()
^\)#include#define ll long long
#define db long double
using namespace std;
const int n = 1e2 + 10;
double dp[n];
int main()
ans += x * dp[i];
}printf("case %d: ",cas++);
printf("%.12lf\n",ans);
}return 0;
}

思路： \(設dp[x]為x變成1的期望次數, x的因子個數為cnt,則dp[x] = \frac + cnt}\)

解得 $ dp[x]= \frac + cnt}$

\(預處理dp陣列即可，複雜度nlogn\)

const int n = 1e5 + 10;

double dp[n];
void init()
}for(int j = 1;j * j <= i;j++)}}
dp[i] += cnt;
dp[i] /= cnt - 1;
}}int main()
return 0;
}

思路： \(dp[i][j] 表示i面的骰子的j面至少朝上過一次的期望次數\)

\(dp[i][1] = 1\)

\(dp[i][j] = \frac(dp[i][j]+1) + \frac(dp[i][j-1] + 1) (2<=j<=i)\)

化簡得\(dp[i][j] = dp[i][j-1] + \frac\)

於是答案就等於\(\sum_^\frac\)

題意：乙個強盜想要搶劫幾家銀行，每家銀行有一定的存款數，且每搶劫一家銀行都有一定概率被抓獲，問在給定的安全概率下，強盜所能搶劫到的最大錢數。且搶劫各個銀行被抓的概率是相互獨立的。

思路： 容量為浮點數的揹包問題

由於這裡錢的總數比較小，把錢看成容量，dp[i]表示搶到錢i的最小被抓概率

從大到小列舉一下最抓概率小於安全概率的就是答案

若錢也為浮點數就不能這樣解了，這篇部落格講了連續值揹包的求解問題

const int n = 1e4 + 10;

double dp[n];
double p;
int n;
double p[n];
int w[n];
int main()
for(int i = 0;i <= sum;i++) dp[i] = 1000000;
dp[0] = 0;
for(int i = 1;i <= n;i++)
int ans = 0;
for(int i = sum;i >= 0;i--) if(dp[i] < p) 
printf("case %d: %d\n",cas++, ans);
}return 0;
}

每天隨機的會有兩隻動物相遇

>- 老虎和老虎相遇，相互殘殺，最後都會死亡

>- 老虎和人相遇，人被老虎吃了

>- 老虎和鹿相遇，鹿被老虎吃了

>- 鹿和鹿相遇，什麼也沒發生

>- 人和鹿相遇，人可以選擇吃或者不吃鹿

問你當人能肯定自己一定能存活下來的最大概率是多少?

偶數只老虎相互殘殺最後變成0，那其實也就是求這個老虎相互殘殺變成0只的概率

從長遠來看，很久很久以後，鹿一定被老虎吃光了，那麼就只剩人和老虎了，這個時候就相當於每次選兩次老虎直到為0，即c(t,2) / c(t + 1,2)的累乘，因為這裡求的是概率，所以若干年後概率是不會變的，如果求的是年數的期望，就不可行了。

另一種更好想的做法就是dp[i][j]表示剩i只老虎j隻鹿，人存活的概率

考慮轉移每次要麼死兩隻老虎，要麼死乙隻鹿，死的這只鹿可以是老虎殺的，也可以是人殺的

#include#define ll long long

using namespace std;
const int n = 1001;
double dp[n][1001];
double c(int n)
int main()
/*memset(dp, 0, sizeof(dp));
for(int i = 0;i <= d;i++) dp[0][i] = 1;
for(int i = 1;i <= t;i++)
}*/double ans = 1;
while(t) ans *= 1.0 * (t - 1) / (t + 1),t -= 2;
printf("%.12lf\n",ans);
}return 0;
}

概率論學習

離散型隨機變數的值和概率的分布列表 在很多教材中，這樣的列表都被叫做離散型隨機變數的 概率分布 其實嚴格來說，它應該叫 離散型隨機變數的值分布和值的概率分布列表 這個名字雖然比 概率分布 長了點，但是對於我們這些笨學生來說，肯定好理解了很多。因為這個列表，上面是值，下面是這個取值相應取到的概率，而且...

概率論基礎

概率論 第一章 隨機事件及其概率 分為兩類 1.確定性現象 2.隨機現象 1.1隨機事件及其運算 1.隨機試驗與樣本空間 隨機試驗具有下列三個特徵 1 試驗可在相同條件下重複進行 2 試驗的結果不止乙個 3 每次實驗之前，不能判定哪乙個結果將會出現 用e表示隨機試驗。試驗e中的每乙個可能結果稱為基本...

概率論筆記

注 本文用 表示並運算，表示交運算，a 表示a的逆事件 樣本空間 乙個試驗中所有可能情況組成的集合 事件的關係與運算 a包含於b a發生 b發生 a並b a與b的和事件 a或b發生 a交b a與b的積事件 ab同時發生 a b a與b的差事件 a發生b不發生 a b互斥 不相容 a交b 空集 a b...