筆記大部分內容來自於書《概率論與數理統計》，侵刪
隨機變數：對樣本空間\(\omega\)的每乙個元素\(e\)，有乙個實數\(x(e)\)與之對應，這樣定義在\(\omega\)上的實值單值函式\(x=x(e)\)就稱為隨機變數
樣本空間->實數軸上的值/範圍，p(實數軸上的值/範圍)->概率\(x\)的分布函式：\(x\)是隨機變數，\(x\)是任意實數，函式\(f(x)=p\left\\)稱為x的分布函式
對任意實數\(x_,x_(x_，有\(p\left \< x\leq x_ \right \}= p\left \ \right \}-p\left \ \right \}=f(x_)-f(x_)\)
分布函式具有的基本性質：
\(f(x)\)為單調不遞減函式
\(0\leq f(x)\leq 1\)，且
\(\lim_f(x)=1\)，常記為\(f(+\infty )=1\)
\(\lim_f(x)=0\)，常記為\(f(-\infty )=0\)
\(f(x+0)=f(x)\)，即\(f(x)\)為右連續
離散型隨機變數：隨機變數的取值為有限個或可數無窮多個
離散型隨機變數\(x\)的概率分布（分布律）：\(p\left\\right\} =p_, k=1,2,...\)
任一離散型隨機變數的分布律\(\left\\right\}\)兩個基本性質
非負性（\(p_\geq 0, k=1,2,...\)）
歸一性（\(\sum_^ p_=1\)）
反過來，具有上述兩個性質的數列\(\left\\right\}\)，一定可以作為某乙個離散型隨機變數的分布律兩點分布：
若隨機變數\(x\)只可能取\(x_\)與\(x_\)兩值，它的分布律為
\(p\left \\right \}=1-p, 0
\(p\left \\right \}=p\)
則稱\(x\)服從引數為\(p\)的兩點分布
\(x\sim (0-1)\)分布，當\(x_=0,x_=1\)時，兩點分布也叫做(0-1)分布
二項分布：
若隨機變數\(x\)的分布律為\(p\left \ =c_^ p^(1-p)^, k=0,1,...,n\)
則稱\(x\)服從引數為\(n,p\)的二項分布，記作\(x\sim b(n,p)\)
二項分布可以作為描述\(n\)重伯努利試驗中事件a出現次數的數學模型
(0-1)分布是二項分布在\(n=1\)時的特殊情形，故也可寫成\(p\left \=p^q^,k=1,2;q=1-p\)
定理：設\(\xi \sim b(n,p)\)，則當\(k=ent((n+1)p)\)時（ent是下取整），\(b(k;n,p)\)的值最大，若\((n+1)p\)為整數，則\(b(k;n,p)=b(k-1;n,p)\)同為最大值
（可以用二項分布的後一項比前一項，分析比值來證明）
泊松定理：
設\(np_=\lambda\)（\(\lambda >0\)是一常數,\(n\)是任意正整數），則對任意一固定的非負整數\(k\)，有
\(\lim_c_^p_^\left ( 1-p_ \right )^= \frace^}\)
二項分布的泊松公式常用於研究稀有事件
泊松分布：
若隨機變數\(x\)的分布律為
\(p\left \ = \frace^ },k=0,1,2,...\)
其中\(\lambda > 0\)是常數，則稱\(x\)服從引數為\(\lambda\)的泊松分布，記為\(x \sim p(\lambda )\)
泊松分布可以作為描述大量試驗中稀有事件出現的次數的概率分布情況的乙個數學模型
\(f(x)=p\left \ = \sum_\leq x}p\left \ \right \} = \sum_ \leq x}p_\)
討論連續型隨機變數在某點的概率是毫無意義的（總是0）
因此計算連續型隨機變數的區間概率時不必考慮區間端點的情況
事件\(\left \\)是「零概率事件」但不是「不可能事件」
連續型隨機變數及其概率密度函式（概率密度/密度函式）：
若對隨機變數\(x\)的分布函式\(f(x)\)，存在非負函式\(f(x)\)，使對於任意實數\(x\)，有
\(f(x)=\int_^f(t)dt\)
則稱\(x\)為連續型隨機變數，\(f(x)\)稱為\(x\)的概率密度函式
概率密度函式的性質：
\(f(x)\geq 0\)
\(\int_^f(x)dx=1\)
\(p\left \ < x \leq x_\right \} = f(x_)-f(x_) = \int_}^}f(x)dx\)
若\(f(x)\)在\(x\)點連續，則有\(f'(x)=f(x)\)
反過來，任一滿足以上1、2兩個性質的函式\(f(x)\)，一定可以作為某個連續型隨機變數的密度函式3種常見的連續型隨機變數：均勻分布、指數分布、正態分佈
曲線關於\(x=\mu\)對稱
曲線在\(x=\mu\)處取最大值，離\(\mu\)越遠\(f(x)\)值越小
曲線在\(\mu\pm \sigma\)出有拐點
曲線以\(x\)軸為漸進線
\(\sigma\)為精度引數，\(\mu\)為位置引數。固定\(\mu\)，\(\sigma\)越小圖形越尖陡；固定\(\sigma\)，\(\mu\)變化則沿x軸平移。
當\(\mu =0,\sigma =1\)時，稱\(x\)服從標準正太分布\(n(0,1)\)，其密度函式表示為\(\varphi (x)\)，分布函式表示為\(\phi (x)\)
（\(\phi (-x) = 1-\phi (x)\)）
若\(x\sim n(\mu ,\sigma ^)\)，則有\(\frac \sim n(0,1)\)（證略）
所以有\(p \left \ < x \leq x_ \right \}=\phi \left ( \frac-\mu } \right )-\phi \left ( \frac-\mu } \right )\)
3\(\sigma\)原則：正太分布落在\(\left ( \mu -3\sigma ,\mu +3\sigma \right )\)內是幾乎肯定的事，可以認為有\(\left | x-\mu \right |< 3\sigma\)
任務：通過已知的隨機變數分布求出與其有函式關係的另乙個隨機變數的分布
對於要求的隨機變數函式的密度函式，一般先求出相應的分布函式再對分布函式求導得出密度函式
若連續型隨機變數\(x\)具有概率密度\(f_(x),-\infty < x < +\infty\)，又知\(y=g(x)=x^\)
則\(y\)的概率密度為\(f_\left ( y \right )=\left\\frac}[f_\left ( \sqrt \right )+f_\left (-\sqrt \right )] & ,y>0\\ 0 & ,y\leq 0\end\right.\)
若\(x\sim n(0,1)\)
則\(y\)的概率密度為\(f_\left ( y \right )=\left\ \frac}y^}e^}&,y>0 \\ 0 & ,y\leq 0\end\right.\)，此時稱\(y\)服從自由度為1的\(\chi ^\)分布
定理：設隨機變數\(x\)具有概率密度\(f_(x),-\infty < x < +\infty\)，又設函式\(g'(x)\)處處可導且\(g'(x)>0\)（或\(g'(x)<0\)），則\(y=g(x)\)是連續型隨機變數，其概率密度為
\(f_(y)=\left\f_(h(y))|h'(y)| &,\alpha
其中\(\alpha =min\left \,\beta =max\left \\)，\(h(y)\)是\(g(x)\)的反函式
（證略）
概率論筆記
注 本文用 表示並運算，表示交運算，a 表示a的逆事件 樣本空間 乙個試驗中所有可能情況組成的集合 事件的關係與運算 a包含於b a發生 b發生 a並b a與b的和事件 a或b發生 a交b a與b的積事件 ab同時發生 a b a與b的差事件 a發生b不發生 a b互斥 不相容 a交b 空集 a b...
概率論基礎學習筆記
參考 胡淵明2013國家集訓隊 資訊學競賽中概率論的基礎與應用 初等概率論有三個重要成分,分別是樣本空間 omega 我們一般記其每個元素為 omega 事件集合 f 和概率測度 p 我們常說的事件,實際上是樣本空間 omega 的某個子集.所有事件的集合記為 f 所以說 f 是集合的集合 實際上我...
概率論學習
離散型隨機變數的值和概率的分布列表 在很多教材中，這樣的列表都被叫做離散型隨機變數的 概率分布 其實嚴格來說，它應該叫 離散型隨機變數的值分布和值的概率分布列表 這個名字雖然比 概率分布 長了點，但是對於我們這些笨學生來說，肯定好理解了很多。因為這個列表，上面是值，下面是這個取值相應取到的概率，而且...