代數定義：
設二維空間內有兩個向量
和，定義它們的數量積（又叫內積、點積）為以下實數：
更一般地，n維向量的內積定義如下：
其中兩個維度相同的向量的內積也可以表示為：
幾何定義（只適用於2維和3維空間）：
運算律：
交換律：
分配律：
結合律：
，其中m是實數
公式是很容易理解，但是意義呢？
內積運算將兩個向量對映為乙個實數。其計算方式非常容易理解，但是其意義並不明顯。下面我們分析內積的幾何意義。假設a和b是兩個n維向量，我們知道n維向量可以等價表示為n維空間中的一條從原點發射的有向線段，為了簡單起見我們假設a和b均為二維向量，則a=(
x1,y
1)'>a=(x1,y1)，b=
(x2,
y2)'>b=(x2,y2)
。則在二維平面上a和b可以用兩條發自原點的有向線段表示，見下圖：a=
好，現在我們從a點向b所在直線引一條垂線。我們知道垂線與b的交點叫做a在b上的投影，再設a與b的夾角是a，則投影的向量長度為|a|
cos(
a)'>|a|cos(a)
，其中|a
|cos
(a)'>|a|
=x12
+y12
'>是向量a的模，也就是a線段的標量長度。
注意這裡我們專門區分了向量長度和標量長度，標量長度總是大於等於0，值就是線段的長度；而向量長度可能為負，其絕對值是線段長度，而符號取決於其方向與標準方向相同或相反。
到這裡還是看不出內積和這東西有什麼關係，不過如果我們將內積表示為另一種我們熟悉的形式：
現在事情似乎是有點眉目了：a與b的內積等於a到b的投影長度乘以b的模。再進一步，如果我們假設b的模為1，即讓|b|
=1'>|b|=1
|b|=1，那麼就變成了：|b
|=1'>
也就是說，設向量b的模為1，則a與b的內積值等於a向b所在直線投影的向量長度！這就是內積的一種幾何解釋，也是我們得到的第乙個重要結論。在後面的推導中，將反覆使用這個結論
向量的數量積，向量積，混合積
設兩向量分別為 和 cos 為向量 和 的夾角 通過公式我們可以發現，兩個向量的數量積就是乙個數量。數量積又稱為點積或者內積。ex 在直角座標系 中，設 a1,a2,a3 b1,b2,b3 a1 i a2 j a3 k b1i b2j b3k a1 b1 a2b2 a3b3 即兩向量的數量積之和等於...
向量的內積和外積
向量是由n個實數組成的乙個n行1列 n1 或乙個1行n列 1n 的有序陣列 向量的點乘,也叫向量的內積 數量積，對兩個向量執行點乘運算，就是對這兩個向量對應位一一相乘之後求和的操作，點乘的結果是乙個標量。點乘公式 對於向量a和向量b a a1,a 2,a3 a n a a 1,a 2,a 3,a n...
向量的外積 向量積
叉乘，也叫向量的外積 向量積。顧名思義，求下來的結果是乙個向量，記這個向量為c。向量c 向量a 向量b a b sin 向量c的方向與a,b所在的平面垂直，且方向要用 右手法則 判斷 用右手的四指先表示向量a的方向，然後手指朝著手心的方向擺動到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向 因此向量...