此篇文章是關於向量的各種積及其表示方式的闡述
首先，我們先來了解一下什麼是向量?
在數學中，向量（也稱為歐幾里得向量、幾何向量、向量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向；線段長度：代表向量的大小。與向量對應的量叫做數量（物理學中稱標量），數量（或標量）只有大小，沒有方向。
向量的記法：印刷體記作黑體（粗體）的字母（如a、b、u、v），書寫時在字母頂上加一小箭頭「→」。 [1] 如果給定向量的起點（a）和終點（b），可將向量記作ab（並於頂上加→）。在空間直角座標系中，也能把向量以數對形式表示，例如xoy平面中(2,3)是一向量。
已知兩個非零向量a、b，那麼|a||b|cosθ（θ是a與b的夾角）叫做a與b的數量積或內積。記作a·b。兩個向量的數量積等於它們對應座標的乘積的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a·b=x1·x2+y1·y2
定義概括地說，向量的內積（點乘/數量積）。對兩個向量執行點乘運算，就是對這兩個向量對應位一一相乘之後求和的操作，如下所示，對於向量a和向量b：
a和b的點積公式為：
這裡要求一維向量a和向量b的行列數相同。注意：點乘的結果是乙個標量(數量而不是向量)
定義：兩個向量a與b的內積為 a·b = |a||b|cos∠(a, b)，特別地，0·a =a·0 = 0；若a，b是非零向量，則a與b****正交的充要條件是a·b = 0。
向量內積的性質：
1.a^2 ≥ 0；當a^2 = 0時，必有a = 0. （正定性）
2 a·b = b·a. （對稱性）
3 (λa + μb)·c = λa·c + μb·c，對任意實數λ, μ成立. （線性）
4 cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).
5 |a·b| ≤ |a||b|，等號只在a與b共線時成立.
向量內積的幾何意義
內積（點乘）的幾何意義包括：
表徵或計算兩個向量之間的夾角
b向量在a向量方向上的投影,計算公式為:
兩個向量的叉乘，又叫向量積、外積、叉積，叉乘的運算結果是乙個向量而不是乙個標量。並且兩個向量的叉積與這兩個向量組成的座標平面垂直。
a和b的叉乘公式為：
其中：i = (1,0,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1)
根據i、j、k間關係，有：
總結:向量的積運算在機器學習演算法中有很重要的應用，有興趣的讀者可以了解一下
向量的數量積，向量積，混合積
設兩向量分別為 和 cos 為向量 和 的夾角 通過公式我們可以發現，兩個向量的數量積就是乙個數量。數量積又稱為點積或者內積。ex 在直角座標系 中，設 a1,a2,a3 b1,b2,b3 a1 i a2 j a3 k b1i b2j b3k a1 b1 a2b2 a3b3 即兩向量的數量積之和等於...
向量的外積 向量積
叉乘，也叫向量的外積 向量積。顧名思義，求下來的結果是乙個向量，記這個向量為c。向量c 向量a 向量b a b sin 向量c的方向與a,b所在的平面垂直，且方向要用 右手法則 判斷 用右手的四指先表示向量a的方向，然後手指朝著手心的方向擺動到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向 因此向量...
向量的叉積
它可以用來判斷點在直線的某側。進而可以解決點是否在三角形內，兩個矩形是否重疊等問題。向量的叉積的模表示這兩個向量圍成的平行四邊形的面積。設向量p x1,y1 q x2,y2 則向量叉積定義為由 0,0 p1 p2和p1 p2所組成的平行四邊形的帶符號的面積，即 p q x1 y2 x2 y1，其結果...