一、向量數量積用於計算向量夾角
中學階段學空間幾何時，知道用兩個向量a,b之間的數量積來計算向量之間的夾角。
這是因為三角形的餘弦定理
：△abc中角a、b、c對應的邊分別為a、b、c
則有cosa=(b²+c²-a²)/(2bc)
cosb=(a²+c²-b²)/(2ac)
cosc=(a²+b²-c²)/(2ab)
基於此餘弦定理
，我們進一步推導可得到向量數量積與向量之間夾角的關係，我們以平面上的向量a,b為例進行說明：
假設向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，則邊長a滿足
，邊長b滿足
，邊長c滿足
，a，b又可寫為
，將這些代入余弦公式：
最後一步等式用到了
，這是平面向量數量積的定義，參考平面向量數量積/22173525?fr=aladdin
已知兩個非零向量
a、b，那麼|a||b|cosθ（θ是a與b的夾角）叫做a與b的數量積或內積。
記作a·b。兩個向量的數量積等於它們對應座標的乘積的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a·b=x1·x2+y1·y2。
顯然向量的數量積有這樣的定義是為了便於計算，已經隱含了|a||b|cosθ
=a·b=x1·x2+y1·y2這樣的關係。
二、概念區分
數量積
a·b，又稱點積，又稱內積；
向量積axb，又稱叉積，又稱外積；
其中，內積和外積是高等數學裡的矩陣乘法中的概念，定義如下：
乙個行向量乘以乙個列向量稱作向量的內積，又叫作點積，結果是乙個數；
乙個列向量乘以乙個行向量稱作向量的外積，外積是一種特殊的克羅內克積，結果是乙個矩陣。
建議參考一下這篇文章：用四種方式理解了矩陣a和矩陣b的乘法。
三、內積•歐氏空間
這部分為補充上述第二部分的，尤其是內積概念。而且這部分內容放在另外「線性代數知識點」裡面更合適，不過放在這裡倒也有好處，更能理解內積。
有了內積的實的線性空間稱為歐氏空間。
例1：在r2和r3中，初中階段學的向量的數量積就是一種內積。因為數量積的定義：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a·b=x1·x2+y1·y2(或
|a||b|cosθ，但是不容易證
)。而且滿足上述4條規則（此處省略證明）。由此，有了內積的平面和空間，稱為歐氏平面和歐氏空間。
例2：
這個例子說明同乙個實線性空間，可以定義不同內積變成不同的歐氏空間。
例3：
例4：
定理：任何乙個實數域上的有限維線性空間都可以定義適當的內積稱為歐氏空間。
證明：
性質：上式中用到乙個知識點，就是度量陣。
3.2向量的長度
定義：令
為向量α的長度或模，如果模為1，稱α為單位向量或標準向量。
定理：對於歐氏空間v中任意兩個向量α,β，一定有
，且3.3向量的夾角
向量的點積和叉積
點乘 也叫向量的內積 數量積.顧名思義,求下來的結果是乙個數.向量a 向量b a b cos 在物理學中,已知力與位移求功,實際上就是求向量f與向量s的內積,即要用點乘.叉乘 也叫向量的外積 向量積.顧名思義,求下來的結果是乙個向量,記這個向量為c.向量c 向量a 向量b a b sin 向量c的方...
向量運算（點積，叉積）
向量加減法 兩向量a與b的和為乙個向量，記為c，即 c a b c與兩向量a與b的關係遵循平行四邊形法則。設二維向量 p x1,y1 q x2 y2 則向量的加法定義為 p q x1 x2,y1 y2 同理，向量減法為 p q x1 x2,y1 y2 顯然有性質 p q q p p q q p 向量...
向量點積 叉積的意義
1.向量點積意義 二維向量a和b點積 結果為標量 定義為 a.dot b a b cos a 比較重要的用途 數學意義 為 得到向量夾角。根據cos a 計算得到 得到對應單位分量上的長度。當向量b為單位向量時，則 a cos a 表示向量a在向量b上的單位分量 可用於凸多邊形的碰撞檢測 分離軸定理...