向量是由n個實數組成的乙個n行1列（n1）或乙個1行n列（1n）的有序陣列；
向量的點乘,也叫向量的內積、數量積，對兩個向量執行點乘運算，就是對這兩個向量對應位一一相乘之後求和的操作，點乘的結果是乙個標量。
點乘公式
對於向量a和向量b：
a =[
a1,a
2,a3
,…,a
n]a=[a_1,a_2,a_3,…,a_n]
a=[a1
,a2
,a3
,…,a
n]b=[
b1,b
2,b3
,…,b
n]b=[b_1,b_2,b_3,…,b_n]
b=[b1
,b2
,b3
,…,b
n]
a和b的點積公式為：
a ∗b
=a1b
1+a2
b2+…
+anb
na*b=a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n
a∗b=a1
b1
+a2
b2+
…+an
bn
要求一維向量a和向量b的行列數相同。
點乘幾何意義
點乘的幾何意義是可以用來表徵或計算兩個向量之間的夾角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：
a ∗b
=∣a∣
∣b∣c
osθa*b=|a||b|cosθ
a∗b=∣a
∣∣b∣
cosθ
推導過程如下：
首先看一下向量組成，
定義向量：
c =a
−bc=a-b
c=a−b
根據三角形餘弦定理有：
c 2=
a2+b
2−2∣
a∣∣b
∣cos
θc^2=a^2+b^2-2|a||b|cosθ
c2=a2+
b2−2
∣a∣∣
b∣co
sθ根據關係c=a-b（a、b、c均為向量）有：
( a−
b)2=
a2+b
2−2a
∗b=a
2+b2
−−2∣
a∣∣b
∣cos
θ(a-b)^2=a^2+b^2-2a*b=a^2+b^2--2|a||b|cosθ
(a−b)2
=a2+
b2−2
a∗b=
a2+b
2−−2
∣a∣∣
b∣co
sθ即：a∗b
=∣a∣
∣b∣c
osθa*b=|a||b|cosθ
a∗b=∣a
∣∣b∣
cosθ
向量a，b的長度都是可以計算的已知量，從而有a和b間的夾角θ：
θ =a
ccco
s((a
∗b)/
(∣a∣
∣b∣)
)θ=acccos((a*b)/(|a||b|))
θ=accc
os((
a∗b)
/(∣a
∣∣b∣
))根據這個公式就可以計算向量a和向量b之間的夾角。從而就可以進一步判斷這兩個向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向關係，具體對應關係為：
a·b>0 方向基本相同，夾角在0°到90°之間
a·b=0 正交，相互垂直
a·b<0 方向基本相反，夾角在90°到180°之間
對於向量a和向量b：
a =(
x1,y
1,z1
)a=(x_1,y_1,z_1)
a=(x1
,y1
,z1)b=
(x2,
y2,z
2)b=(x_2,y_2,z_2)
b=(x2
,y2
,z2
) a和b的叉乘公式為：
其中：根據i、j、k間關係，有：
叉乘幾何意義
在三維幾何中，向量a和向量b的叉乘結果是乙個向量，更為熟知的叫法是法向量，該向量垂直於a和b向量構成的平面。
在3d影象學中，叉乘的概念非常有用，可以通過兩個向量的叉乘，生成第三個垂直於a，b的法向量，從而構建x、y、z座標系。如下圖所示：
在二維空間中，叉乘還有另外乙個幾何意義就是：axb等於由向量a和向量b構成的平行四邊形的面積。
說是矩陣的叉乘，其實是說的是兩個向量的叉乘，矩陣是不能叉乘的。cross(a,b)返回向量a和b的叉乘，其中a，b必須是3個元素的向量！
比如a=[1,2,3],b=[4,5,6],
則cross(a,b)=[-3 6 -3].
它表示的意思是三維空間中的兩個點a(1,2,3)和b(4,5,6),再加上原點o，則構成的兩個向量oa，ob，則cross(a,b)就是垂直平面oab的向量，它的模是三角形oab面積的2倍。結合上面的例子，假若點c(-3,6,-3),則向量oc就是平面oab的法向量，|oc|就是三角形oab面積的2倍。
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