乙個群\(g\)的階是指其勢，即其元素的個數。記做\(\operatorname(g)\)或\(|g|\)。
乙個元素\(a\)的階（或稱週期）是指使得\(a^m=e\)的最小正整數\(m\)，記做\(\operatorname(a)\)或\(|a|\)。
若\(m\)不存在，則稱\(\operatorname(a)=\infty\)。有限群的所有元素都有有限階。
群\(\)中，若\(h\subseteq g\)且\(\)構成群，則稱\(h\)是\(g\)的子群。
任意群\(g\)都有子群\(\,g\)，其他子群稱為真子群。
對於\(g\)的子集\(m\)，所有包含\(m\)的子群的交也是乙個子群，稱為\(m\)的生成子群，記做\(\left\)。\(m\)稱為\(\left\)的生成集。
顯然\(\forall a\in g,\operatorname(a)=\operatorname(\left)\)。
若\(h\)是\(g\)的子群，\(\forall a\in g\)，稱\(ah=\\)為子群\(h\)的乙個左陪集，\(ha=\\)為子群\(h\)的乙個右陪集。
設\(g\)中\(h\)的左陪集，右陪集組成的集合分別為\(s_l,s_r\)，可以證明對映\(f:ha\mapsto a^h\)是\(s_r\)到\(s_l\)的雙射。
\(g\)的子群\(h\)的不同右陪集個數叫做\(h\)的指標，記做\([g:h]\)。
乙個有限集\(x\)到\(x\)的乙個雙射稱為\(x\)的乙個置換，不妨設\(x=[n]\)，則置換可以表示成\(\begin1&\cdots&n\\a_1&\cdots&a_n\end\)，其中\(a\)是乙個排列。
定義置換合成運算：\(\begin1&\cdots&n\\a_1&\cdots&a_n\end\begina_1&\cdots&a_n\\b_1&\cdots&b_n\end=\begin1&\cdots&n\\b_1&\cdots&b_n\end\)
\(n\)個元素的置換有\(n!\)個，易證這\(n!\)個置換對於置換合成構成乙個群，稱為\(n\)階對稱群，用\(s_n\)表示。
\(x\)上的對稱群記做\(\operatorname(x)\)。置換群是對稱群的乙個子群。
\((a_1,\cdots,a_n)=\begina_1&\cdots&a_&a_n\\a_2&\cdots&a_n&a_1\end\)叫\(n\)階迴圈。
\(2\)階迴圈又叫做對換。
很顯然每個置換都可以分解成若干迴圈。定義\(c(g)\)表示\(g\)置換的最少迴圈數。
若乙個置換能分解為奇數個換位，則稱之為奇置換，否則稱之為偶置換。
\(s_n\)中偶置換全體構成乙個\(\frac2\)階的子群稱為交代群，記為\(a_n\)。
設\(g\)是集合\(x\)上的乙個置換群，對於\(x\in x\)，定義\(\operatorname(x)=\\)為\(x\)的軌道，軌道也記做\(g\cdot x\)。
在\(g\)下\(x\)中所有元素形成的軌道等價類數記做\(|x/g|\)。
若\(g\cdot\alpha=\\)，那麼稱\(\alpha\)為\(g\)下的乙個不動點。
\(x\)中所有\(g\)下的不動點構成的集合稱為不動點集，記做\(x^g\)。在某個置換\(g\)下的不動點集記為\(x^g\)。
置換群\(g\)中不改變元素集\(a=\\)的置換組成的子群稱為\(g\)中\(a\)的穩定子群，記做\(g_a\)或\(\operatorname(a)\)。
所有群\(g\)同構於\(\operatorname(g)\)的乙個子群。
設\(h\)為\(g\)的子群，對任意\(h\)的右陪集\(ha,hb\)，則要麼\(ha=hb\)，要麼\(ha\cap hb=\varnothing\)。
\([g:h]=\frac(g)}(h)}\)
因此\(\operatorname(g)\in\mathbb p\)的群\(g\)沒有真子群。
\(\operatorname(g)=\operatorname(\operatorname(x))\operatorname(\operatorname(x))\)
\(|x/g|=\frac1(g)}\sum\limits_|x^g|=\frac1(g)}\sum\limits_\operatorname(\operatorname(x))\)
用\(m\)種顏色給\(x\)染色，我們有\(|x^g|=m^\)。
由此可以得到總的染色方案數為\(\frac1(g)}\sum\limits_m^\)。
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