群是有乙個代數運算的代數系統，但我們在數學中，如高等代數中討論的很多物件比如：數、多項式、函式以及矩陣和線性變換等，都是有兩個代數運算的代數系統，兩個代數運算的代數系統不僅有非常重要的現實意義，而且相比於乙個代數運算的系統會有一些有趣的性質。而在具有兩個代數運算的系統中環和域便是很好的代表。
具有兩個運算的系統比較多，性質也各有不同，我們必須先從中抽取出「最小」的系統才能有通用性。各種數系、多項式、矩陣的加法和乘法是最具代表性的雙運算系統，以它們為參考可以得到比較有用的系統。比如矩陣（線性空間）為雙運算系統提供了許多豐富的可能性，相關的例子也很多。
考察上面提到的這些常見具體系統，它們的加法群都是交換群，故假設新的抽象系統的乙個運算也為交換群。並且稱其為**，**的單位元稱為零元素（記作0）。**的所有表示式都可以寫為加減法，加法的「冪」可以用倍數表示。同時我們可以得到以下這些常見的變形都是成立的，後面可以直接使用。
a +
基礎抽象代數
乙個群 g 的階是指其勢，即其元素的個數。記做 operatorname g 或 g 乙個元素 a 的階 或稱週期 是指使得 a m e 的最小正整數 m 記做 operatorname a 或 a 若 m 不存在，則稱 operatorname a infty 有限群的所有元素都有有限階。群 中，...
抽象代數 因子分解與域的擴充套件
我們知道，整數環中的每乙個合數都可以唯一地分解成素數的乘積 域 f 上每個次數大於零的可約多項式，都可以唯一地分解成不可約多項式的乘積。這是整數環和多項式環中元素的最基本最重要的性質之一。下面我們將把整數環和多項式環的一些性質推廣到更一般通用的環上去。環的直和分解將大環分解為小環，使得結構更加簡單。...
抽象代數學習記錄
前段時間看了一下抽象代數，沒看完就中止了，當前來說雖然時間精力沒那麼好，但是也還是有點動力不足的樣子，希望自己以後還會再花些心思到這個上面來。伽羅瓦理論很有名，但我並不大清楚了解這個會對自己的職業生涯有什麼幫助，之所以想看一看，緣起於對方程式的興趣。但抽象代數之類的教材通篇看過去，幾乎全部都是概念，...