對映的概念高中數學中就已經引入了，最近我翻看了一下高中數學教材，書中對對映做了這樣的定義：
對映的定義：設a、b是兩個非空集合，如果存在乙個法則f ，使得對a中的每個元素a，按法則
f，在b中有唯一確定的元素b與之對應，則稱
f 為從a到b的對映，記作f：
a→b。
其中，b稱為元素a在對映f下的象，記作： b=
f (a); a稱為b關於對映f的原象。集合a中所有元素的象的集合稱為對映
f 的值域，記作
f(a)。
對映的定義』：集合a，b是非空集合，a當然，將對映定義為一種對應規則的做法更加普遍。因此，以後我們把對映作為一種對應規則看待，並且直接稱其為「對映」而非「對映關係」。× b有一類子集r，如果 ∀a
∈a,有且只有乙個 b∈
b ,使得 (a
,b)∈
r ，稱關係r為對映關係。
根據第一種定義方式，集合a中所有元素的象構成的集合稱為值域，如果值域等於集合b，那麼稱對映
f 是滿射；如果集合a中不同元素在b中的象也不同，那麼稱對映
f是單射。如果對映f既是滿射，又是單射，那麼稱
f 是雙射。
對映可以進行復合，但需要注意以下幾點：
* 存在g∗
f不一定有f∗
g * 即使g∗
f 和f∗
g 都存在，也不一定有g∗
f=f∗
g 我們現在可以根據對映復合的概念定義可逆對映，但在此之前，需要引入恒等對映恒等對映。恒等對映的定義非常簡單，也很容易理解：
現在我們來介紹可逆對映：f 是集合a到自己的對映，如果元素a的象就是它自己，那麼稱
f是恒等對映。記作ia
設f：判斷a→b ，如果存在對映g：
b→a ，使得g∗
f=ia
,f∗g
=ib ，那麼
f 是可逆對映。
f是否是乙個可逆對映，只需要判斷
f 是否為雙射即可。
最後要說的概念很簡單，但是相當重要，那就是我們從高中起經常接觸的「定義域」和「值域」。「定義域」就是對映中的集合a，「值域」是集合a中所有元素的象的集合，回想一下滿射的定義你會知道值域是b的乙個子集（不一定是真子集）。需要指出的是，離開「定義域」「值域」談對映是沒有任何意義的，這一點，可能從對映的定義』的角度看更加直觀。這裡舉乙個例子：
* 判斷 r=
是不是乙個對映關係。
這個例子的提法當然是有問題的，因為連x，
y 的範圍都沒有給出。如果x∈
[−1,
1],y
∈[−1
,1] ，那麼r不是對映關係。如果如果x∈
[−1,
1],y
∈[0,
1]，那麼r是對映關係。因此切記要定義對映時要給出定義域以及值域。
為了一般性，我們介紹對映時，通常把對映的定義域和值域設為兩個不同的集合。不過我希望大家能考慮一下定義域和值域為同乙個集合的對映，尤其是可逆對映，這是置換的基礎，也是日後在研究群時，經常會遇到的對映。因為本人懶惰，很多概念就不在文章中介紹啦，大家可以去找別的資料作為參考。
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