定義：設\((r,+,*)\)是個環，\(s\)是\(r\)的乙個非空子集。如果\(+\)和\(*\)也是\(s\)的運算，且\((s,+,*)\)也是個環，則說\((s,+,*)\)是\((r,+,*)\)是的乙個子環。在所指運算不混淆時，簡稱\(s\)是\(r\)的乙個子環。在介紹環的時候，提到的偶數環是有理數環的子環。
\((r,+,*)\)是乙個環，判斷\(r\)的非空子集\(s\)是否是\(r\)的子環，一般有下面幾種方法：
方法一：
對任意\(a,b\in s\)，有\(a+b\in s\)；
對任意\(a\in s\)，有\(-a\in s\)；
對任意\(a,b\in s\)，有\(a*b\in s\)。
方法二：
\((s,+)\)是\((r,+)\)的子群；
對任意\(a,b\in s\)，有\(a*b\in s\)。
方法三：
對任意\(a,b\in s\)，有\(a-b\in s\)；
對任意\(a,b\in s\)，有\(a*b\in s\)。
上面三個方法可行性的證明不難（前面關於群的幾篇博文有類似命題，證明思路是一樣的），這幾個方法可以用來證明下面的命題。
設\(s_a,a\in i\)都是\(r\)的子環，那麼他們的交集\(\cap_s_a\)也是\(r\)的子環。首先，由環以及子環的定義可知\(s_a\)非空；\(s_a\)作為子環，\(0\in s_a,a\in i\)，所以，\(0\in \cap_s_a\)，從而\(s\)非空。進一步的，對任意的\(a,b\in s\)，應有\(a,b\in s_\alpha,\alpha\in i\)，而\(s_\alpha\)是\(r\)的子環，從而對每個\(\alpha\in i\)都有\(a-b\in s_\alpha\)，根據\(s\)的定義，必有\(a-b\in s\)。同理，對任意的\(a,b\in s\)，應有\(a,b\in s_\alpha,\alpha\in i\)，而\(s_\alpha\)是\(r\)的子環，從而對每個\(\alpha\in i\)都有\(ab\in s_\alpha\)。綜上，\(s\)是\(r\)的子環。
上述命題的證明中，因為\(s_a\)的特殊性，\(s\)必然是非空的。現在我們對\(s_a\)做一些限制，並提出生成子環的概念。
\(r\)是個環，\(a\in r\)，做\(r\)的子環族我們也可以用乙個子集來生成乙個子環：\(r\)是個環，\(t\)是\(r\)的非空子集，做\(r\)的子環族\(a=\\)
我們把子環\(\cap_s\)稱為\(r\)的由元素\(a\)生成的子環，記為\(\)。
\(a=\\)
我們把子環\(\cap_s\)稱為由\(t\)生成的子環，記為\(\)。
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