a×
b=從定義上看，笛卡兒積可以使兩個完全不相干的集合產生聯絡，而a，b的元素不一定要拘泥於某種形式，比如說，a可以是乙個數字，而b可以是乙個字串。
現在我們任取a×
b 的乙個子集
r （不一定是真子集），然後任取a∈
a,b∈
b(a,
b)是否屬於
r 是確定。如果(a
,b)∈
r，那麼稱之為a,
b 滿足關係
r ，記作ar
b。而選取a×
b 的乙個子集
r 稱之為確定了a，b的乙個關係r。
這裡舉個例子：集合s是某校所有大二學生組成的集合，現在我們取s×
s的乙個子集 r⊆
s×s=
那麼，r確定了乙個關係，這裡可以叫做同班同學關係，滿足關係的任意兩個學生是同班同學。
在了解關係的定以後，這裡介紹乙個比較重要的關係—等價關係。
設r是集合s上的乙個關係，若這個關係滿足下列三個條件：
* 反身性：∀s
∈s,s
rs* 對稱性：∀s
0,s1
∈s,s
0rs1
蘊含s1
rs0
* 傳遞性：∀s
0,s1
,s2∈
s,如果
s0rs
1,s1
rs2，
那麼s0
rs2
那麼稱r是s上的乙個等價關係。
有乙個比較經典的例子,我們在整數集i上定義乙個關係r， r=
r其實就是整數相等關係，這是乙個等價關係。
當等價關係確定後，我們乙個重要概念—等價類：如果r是s上的乙個等價關係，s中所有等價於x的元素構成的集合sx
= 稱為元素x的等價類。根據等價類的定義我們容易知道，兩個元素的等價類要麼相等，要麼交集為空。乙個集合中所有元素的等價類的並集必然是這個集合本身。
研究乙個代數系統的時候，有幾個與之相關代數系統非常重要，其中乙個叫做商代數系統。在開始代數的學習之前，需要了解商集的概念。
首先我們說一下劃分：
乙個集合a，有以n為指標集的子集族
,只要i≠
j,ai
與aj 交集為空，且ai
的並集等於a，那麼說這是集合a的乙個分類或者分劃。它的直觀意義是，a中的任意乙個元素必然屬於且只能屬於a的某乙個子集。
我們回想一下等價類的概念，不難發現，我們可以根據等價關係對集合進行分劃。現在我們在集合s上確定乙個等價關係r，t是s的乙個子集，假設對於t中不同的元素，它們的等價類各不相同，且t中所有元素的並集就是s，我們說t是關係r下乙個等價類表示的完全集。而集合a=
稱之為s的乙個商集。注意，商集是由等價關係唯一確定的。
舉個例子，整數集上的奇偶關係是乙個等價關係，設t=
（t的寫法不唯一），那麼整數集合在奇偶關係下確定的商集a=
,}。關於關係的概念還有很多，其中包括抽象代數的乙個重要分支格論，這裡就不一一介紹了。最需要理解清楚的是商集的概念，這是商群的重要基礎。
抽象代數學習記錄
前段時間看了一下抽象代數，沒看完就中止了，當前來說雖然時間精力沒那麼好，但是也還是有點動力不足的樣子，希望自己以後還會再花些心思到這個上面來。伽羅瓦理論很有名，但我並不大清楚了解這個會對自己的職業生涯有什麼幫助，之所以想看一看，緣起於對方程式的興趣。但抽象代數之類的教材通篇看過去，幾乎全部都是概念，...
抽象代數學習筆記（3）對映
對映的概念高中數學中就已經引入了，最近我翻看了一下高中數學教材，書中對對映做了這樣的定義 對映的定義 設a b是兩個非空集合，如果存在乙個法則 f 使得對a中的每個元素a，按法則 f，在b中有唯一確定的元素b與之對應，則稱 f 為從a到b的對映，記作f a b。其中，b稱為元素a在對映f下的象，記作...
抽象代數學習筆記（5） 運算
運算 這個名詞大家從小學就應該接觸了，比如 四則運算 等等。不過在那個時候，運算一直是乙個很模糊的概念，究竟什麼是運算？我們接觸的 加減乘除 為什麼都被稱作運算，它們在本質上有相同的地方？設 s 是個非空集合，把s s到s 的對映稱之為 s上的二元運算，簡稱為 s 上的運算.和我們之前說的對映一樣，...