考慮簡單帶權無向圖的情況。
約定這張圖為\(g=(v,e),n=|v|,m=|e|\)，\(e_i=(u_i,v_i,w_i)\)表示第\(i\)條邊，\(deg_u\)表示\(u\)所連邊的邊權和。
\(\mathbf a_\)滿足\(\mathbf a_=w(i,j)\)
\(\mathbf d_\)滿足\(\mathbf d_=[i=j]deg_i\)
\(\mathbf b_\)滿足\(\mathbf b_=[u_j=i\vee v_j=i](-1)^\sqrt\)
一張圖的laplace矩陣\(\mathbf l=\mathbf d-\mathbf a\)。
\(1.\det(\mathbf l)=0\)
\(2.\operatorname(\mathbf l)=n-1\)
\(3.\mathbf l\)的所有\(c_\)都相等，且等於\(\mathbf l\)的\(\prod\limits_^\lambda_i\)。
\(3.\mathbf b^\mathbf b=\mathbf l\)
一棵生成樹的權值為邊權之積，所有生成樹的權值和就是\(\mathbf l\)的任意乙個\(c_\)。
對於重邊，考慮分配率，發現可以將重邊縮成一條，邊權求和即可。
可以發現cayley定理就是kirchhoff定理的特例。
考慮擴充套件至有向圖的樹形圖。
假如我們要求的是外向樹。
修改：\(deg_i\)表示\(i\)的入邊的邊權和。
那麼此時以\(i\)為根的所有外向樹的權值和為\(\mathbf l\)的\(c_\)。
假如我們要求的是內向樹。
修改：\(deg_i\)表示\(i\)的入邊的邊權和。
那麼此時以\(i\)為根的所有外向樹的權值和為\(\mathbf l\)的\(c_\)。
其實內向樹和外向樹就是把邊反向的區別。
因為把邊反向相當於把\(\mathbf l\)轉置，這並不會讓它的某個\(c_\)發生變化。
所以我們可以不需要修改\(\mathbf a\)。
還需要注意，在有向圖中\(\mathbf a\)的數條性質皆不成立，關聯矩陣也暫時沒法定義。
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