前面的幾篇文章介紹了抽象代數的基礎，現在可以接觸一種基本的代數結構—群。之前說過，代數結構就是在乙個集合上定義乙個運算。群也是如此，只是，群需要滿足一些要求。
乙個集合我們接觸到的群的例子其實有很多，例如整數在代數加法下構成群，實數在代數乘法上構成群，等等。g 以及定義在這個集合上的運算*滿足下列條件：
* 運算*滿足結合律；
* 運算*有乙個單位元e；
* 集合
g 中的每乙個元素在運算* 有逆元，即
g中任意元素
g ,有g−
1使得 g∗
g−1=
g−1∗
g=e
這樣，元素g和定義在g上的運算* 構成了乙個群，記作 (g
,∗) ，有時簡稱
g 是乙個群。
群有一些性質，需要注意：
* 群中的單位元是唯一的
* 群上的運算滿足左右消去律
* 群上的運算不需要滿**換律，若滿**換律，則這個群是乙個交換群。為紀念天才數學家阿貝爾對群論做出的傑出貢獻，常稱交換群為阿貝爾群。
研究代數系統經常要研究它的子代數系統，群也是這樣，這就有了子群的概念。
(g前面說到整數在代數加法下構成群，而偶數在代數加法下也構成群，那麼，偶數加法群是整數加法群的乙個子群。,∗)是個群，如果
g 的子集
h對於*也構成群,那麼稱 (h
,∗) 是 (g
,∗) 的子群。或者，簡單地說，
h 是
g的子群。
子群也有一些性質，下面列一下：
* 子群的單位元等於群的單位元 * g
是乙個群，
g的任意乙個子群族的交集仍然是
g 的子群 * h
,k是g
的子群，如果h,
k的並集也是
g 的子群，那麼h⊆
k或者k⊆
h 。
這些性質的證明很簡單，有興趣的可以試一下。
這裡提乙個比較重要的概念，生成子群：
設之所以說生成子群重要，主要是因為生成子群的諸多應用，先記住上述概念，以後會在其他的例子中引用。g 是個群，
s為其一非空子集合,
j 為
g的所有包含
s 的子群的族，則稱子群 ⋂h
∈jh為
s 在
g中的生成子群。記作<
s >
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