總結 01揹包問題（動態規劃演算法）

0-1 揹包問題：給定 n 種物品和乙個容量為 c 的揹包，物品 i 的重量是 wi，其價值為 vi 。

問：應該如何選擇裝入揹包的物品，使得裝入揹包中的物品的總價值最大？

分析一波，面對每個物品，我們只有選擇拿取或者不拿兩種選擇，不能選擇裝入某物品的一部分，也不能裝入同一物品多次。

解決辦法：宣告乙個大小為 m[n][c] 的二維陣列，m[ i ][ j ] 表示在面對第 i 件物品，且揹包容量為 j 時所能獲得的最大價值，那麼我們可以很容易分析得出 m[i][j] 的計算方法，

（1）. j < w[i] 的情況，這時候揹包容量不足以放下第 i 件物品，只能選擇不拿

m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]

（2）. j>=w[i] 的情況，這時揹包容量可以放下第 i 件物品，我們就要考慮拿這件物品是否能獲取更大的價值。

如果拿取，m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + v[ i ]。這裡的m[ i-1 ][ j-w[ i ] ]指的就是考慮了i-1件物品，揹包容量為j-w[i]時的最大價值，也是相當於為第i件物品騰出了w[i]的空間。

如果不拿，m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ] , 同（1）

究竟是拿還是不拿，自然是比較這兩種情況那種價值最大。

(第一行和第一列為序號，其數值為0)

如m[2][6],在面對第二件物品，揹包容量為6時我們可以選擇不拿，那麼獲得價值僅為第一件物品的價值8，如果拿，就要把第一件物品拿出來，放第二件物品，價值10，那我們當然是選擇拿。m[2][6]=m[1][0]+10=0+10=10;依次類推，得到m[6][12]就是考慮所有物品，揹包容量為c時的最大價值。

#include
#include
using
namespace std;
const
int n=15;
intmain()
;int w[n]=;
int m[n]
[n];
int n=
6,c=12;
memset
(m,0
,sizeof
(m))
;for
(int i=
1;i<=n;i++)}
for(
int i=
1;i<=n;i++
)        cout<
}return0;
}

到這一步，可以確定的是可能獲得的最大價值，但是我們並不清楚具體選擇哪幾樣物品能獲得最大價值。

另起乙個 x[ ] 陣列，x[i]=0表示不拿，x[i]=1表示拿。

m[n][c]為最優值，如果m[n][c]=m[n-1][c] ,說明有沒有第n件物品都一樣，則x[n]=0 ; 否則 x[n]=1。當x[n]=0時，由x[n-1][c]繼續構造最優解；當x[n]=1時，則由x[n-1][c-w[i]]繼續構造最優解。以此類推，可構造出所有的最優解。（這段全抄演算法書，實在不知道咋解釋啊。。）

void
traceback()
}    x[1]
=(m[1]
[c]>0)
?1:0
;}

例：

某工廠預計明年有a、b、c、d四個新建專案，每個專案的投資額wk及其投資後的收益vk如下表所示，投資總額為30萬元，如何選擇專案才能使總收益最大？

結合前面兩段**

#include
#include
using
namespace std;
const
int n=
150;
int v[n]=;
int w[n]=;
int x[n]
;int m[n]
[n];
int c=30;
int n=4;
void
tradeback()
else}if
(m[1
][c])}
intmain()
else}}
cout<
[c]<
tradeback()
;for
(int i =
1; i <= n; i++)}
return0;
}

輸出x[i]陣列：0111，輸出m[4][30]：22。

得出結論：選擇bcd三個專案總收益最大，為22萬元。

不過這種演算法只能得到一種最優解，並不能得出所有的最優解。

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動態規劃演算法 01揹包問題

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