01揹包問題（動態規劃演算法）

0-1 揹包問題：給定 n 種物品和乙個容量為 c 的揹包，物品 i 的重量是 wi，其價值為 vi 。

問：應該如何選擇裝入揹包的物品，使得裝入揹包中的物品的總價值最大？

分析一波：面對每個物品，我們只有選擇拿取或者不拿兩種選擇，不能選擇裝入某物品的一部分，也不能裝入同一物品多次。

解決辦法：宣告乙個大小為 m[n][c]（表示當前總價值）的二維陣列，m[ i ][ j ] 表示在面對第 i 件物品，且揹包容量為 j（沒裝任何物品時的容量，假設揹包就那麼大，只有容量 j ）時所能獲得的最大價值

，那麼我們可以很容易分析得出 m[i][j] 的計算方法，

（1）j < w[i] 的情況，這時候揹包容量不足以放下第 i 件物品，只能選擇不拿

m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]（不拿物品時，價值等於考慮第 i-1 件時的**）

（2）j>=w[i] 的情況，這時揹包容量可以放下第 i 件物品，我們就要考慮拿這件物品是否能獲取更大的價值。

如果拿取，m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][j-w[ i ] ]+ v[ i ]。這裡的m[ i-1 ][ j-w[ i ] ]指的就是考慮了i-1件物品，揹包容量為j-w[i]時的最大價值，也是相當於為第i件物品騰出了w[i]的空間。

如果不拿，m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ] , 同（1）

究竟是拿還是不拿，自然是比較這兩種情況那種價值最大。

由此可以得到狀態轉移方程：

if(j>=w[i])
m[i][j]=max( m[i-1][j], m[i-1][j-w[i]]+v[i]  );
else
m[i][j]=m[i-1][j];

例：0-1揹包問題。在使用動態規劃演算法求解0-1揹包問題時，使用二維陣列m[i][j]儲存，m[i][j]陣列值表示價值，揹包容量為j，可選物品為i、i+1、……、n時0-1揹包問題的最優值。繪製

價值陣列v = ，

重量陣列w = ，

揹包容量c = 12時對應的m[i][j]陣列。

0123456789101112

1000

8888

82000

8810

1010

1018

1818

3066

881414

1616

1818

244066

991414

1717

1919

245066

991414

1717

1921

246268

9111416

1719

1921

24(第一行和第一列為序號，其數值為0)

如m[2][6],在面對第2件物品，揹包容量為6時，

我們可以選擇不拿，那麼獲得價值僅為第一件物品的價值8。

即：m[ 2 ][ 6 ] = m[1 ][ 6 ] （m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]）

如果拿，就要把第一件物品拿出來，放第二件物品，價值10，那我們當然是選擇拿。

即：m[2][6] = m[2-1][6-6]+10 =0+10 = 10（

m[ i ][ j ]=

m[ i-1 ][j-w[ i ]]+ v[ i ]

）依次類推，得到m[6][12]就是考慮所有物品，揹包容量為c時的最大價值。

#include using namespace std;

const int n=15;

int main() ;//注意這裡多了乙個前導0

int w[n]=;

int m[n][n];

int n=6,c=12;

memset(m,0,sizeof(m));

for(int i=1;i<=n;i++)

}for(int i=1;i<=n;i++)

} x[1]=(m[1][c]>0)?1:0; //這裡處理i=1

} 例：

某工廠預計明年有a、b、c、d四個新建專案，每個專案的投資額wk及其投資後的收益vk如下表所示，投資總額為30萬元，如何選擇專案才能使總收益最大？

project專案

wk投資額

vk收益ab

cd結合前面兩段**

#include

using

namespace

std;

const

intn=150;

intv[n]=;

intw[n]=;

intx[n];

intm[n][n];

intc=30;

intn=4;

void

traceback()

} x[1]=(m[1][c]>0)?1:0;

} int

main() }

/*for(int i=1;i<=6;i++)

cout<}*/

traceback();

for(

inti=1;i<=n;i++)

cout0;

} 輸出x[i]陣列：0111，輸出m[4][30]：22。

得出結論：選擇bcd三個專案總收益最大，為22萬元。

不過這種演算法只能得到一種最優解，並不能得出所有的最優解。

其他人解法：空間優化

#include

using

namespace

std;

intdp[1005][1005];

intweight[1005];

intvalue[1005];

intmain()

} cout0;

} 然後啊，我們來仔細分析分析就會發現，這個陣列開銷還是很大的，因為是二維的，萬一哪個資料一大，分分鐘記憶體超限，因此有了下邊的解法

傳說中的---------------滾動陣列！！！

啊？什麼是滾動陣列。

說白了二維陣列只是把每個物品都跑一遍，然後到最後乙個物品的時候輸出答案，那麼過程值只是計算的時候用一次，我沒必要存下來。所以用乙個陣列去滾動儲存，然後用後乙個狀態的值去覆蓋前面乙個狀態。然後形象的叫它：滾動陣列（ma！dan！一點都不形象，我理解了好久）

好吧，假裝很形象。

那麼問題來了，怎麼樣用一維的去代替二維的工作，或者說怎麼去思考。這是乙個難點。

那麼我們想，遍歷物品的那個for肯定不能省去，然後裡邊的for也不能省。。。。那麼。就把那個i給他刪了吧，好像確實沒啥用哦。

然後就出現了這樣的**

[cpp]view plain

copy

for(

inti=1; i<=n; i++)

} 看上去好像很厲害的樣子,但是這個絕對是錯的，因為第二個for裡存在某個dp[j]被改動過，然後再次影響到更大的j。就像我們再對乙個陣列進行移位操作，一不小心就全部成了一樣的數。（別笑，你們以前肯定碰到過|||- -）

額。。回到正題，上邊的**會有重複影響，確實歪打正著的碰上了另乙個揹包。這個另說，現在附上正確的思路。

[cpp]view plain

copy

#include

using

namespace

std;

intdp[1005];

//滾動陣列的寫法，省下空間省不去時間

intweight[1005];

intvalue[1005];

intmain()

} cout0;

} 其實就是規定從m開始迴圈，保證了選擇這個物品時，肯定不會重複使用狀態。

01揹包問題（動態規劃演算法）

01揹包問題（動態規劃演算法）

動態規劃演算法 01揹包問題

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