題目
給定n種物品和乙個容量為v的揹包，物品i的體積是wi，其價值為ci。
(每種物品只有乙個)
問：如何選擇裝入揹包的物品，使得裝入揹包中的物品的總價值最大？
面對每個物品，我們只有選擇放入或者不放入兩種選擇，每種物品只能放入一次。
我們用之前同樣的思路來走一遍試試
假設只剩下最後一件物品，我們有兩種選擇
1.剩餘空間足夠時，選擇放入
2.剩餘空間不足時，不放入
所以我們有兩個最優的子結構：
1.容量為v的揹包放入i-1件物品的最優選擇
2.容量為v-w[i]的揹包放入i-1件物品的最優選擇
所以，綜合起來就是：
i 件物品放入容量為v的揹包的最優選擇：
max(容量為v的揹包放入i-1件物品的最優選擇，容量為v-w[i]的揹包放入i-1件物品的最優選擇+c[i])
我們用f[i] [v]表示前 i 件物品放入容量為 v 的揹包中可以獲得的最大價值。
用子問題定義狀態：
其狀態轉移方程是：f[i] [v] = max。
我們先假設
揹包總容量為v = 12
物品的容量陣列為 w = [4, 6, 2, 2, 5, 1]
價值陣列為 c = [8, 10, 6, 3, 7, 2]
我們每次從左至右，儲存前一次的資料
從上至下時，儲存前一行的資料
所以我們總的來說只用儲存一行的資料，空間複雜度為o(v)
時間複雜度為o(n*v),空間複雜度為o(v);
但是，如果我們用原始的遞迴辦法去做，即排列組合的方法去做時
時間複雜度為o(2^n);
那麼當v很大，n較小時，比如v=1000，n=6時，用遞迴只用計算2^6=64次，而備受推崇的動態規劃就需要計算1000*6=6000次
所以說，演算法沒有絕對的好壞，關鍵要看應用的慘景
01揹包問題 （動態規劃演算法）
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