導數和微分在書寫的形式有些區別，如y』=f(x),則為導數，書寫成dy=f(x)dx,則為微分。積分是求原函式，可以形象理解為是函式導數的逆運算。
：設f(x)為函式f(x)的乙個原函式，我們把函式f(x)的所有原函式f(x)+c（c為任意常數），叫做函式f(x)的不定積分，數學表示式為：若f』(x)=g(x)，則有∫g(x)dx=f(x)+c。
簡單解釋就是微分相當於求導，積分相當於求原函式
定積分相當於求面積
不定積分相當於求原函式
簡單說一下這個問題吧，定積分和不定積分看起來好像差不多，而且由於牛頓萊布尼茨公式的存在，這兩者似乎計算上也就差乙個代入值的過程。但事實上，這兩個東西確實天差地遠。
**不定積分本質上是給定乙個函式，尋找這個函式的原函式的過程，在不考慮相差常數的意義下（或者更嚴格的應該叫把相差乙個常數的函式是做等價，在所有函式中模掉這一等價關係）不定積分可以看做是求導運算的逆運算。**當然不定積分這個概念只在一元函式中有，因為在多元函式中儘管有全導數這個概念，但是對乙個多元函式求原函式本身是一件非常困難的事情（因為需要考慮不止乙個變數，這其中就涉及到對多個變數進行重新引數化），而且即使求出了原函式，事實上也只能解決不帶方向的積分問題，對於向量場進行的積分確是另一回事。而什麼樣的函式具有原函式這個涉及到微分galois理論，我對此一無所知，此處按下不表。
**定積分卻完全不同，定積分的定義是乙個極限過程，給乙個函式和乙個區間，對區間進行無窮分割，再把每個區間上的函式值加起來的乙個過程。**這其中和求導運算其實一點關係也沒有，微積分基本定理（牛頓萊布尼茲公式）就是因為這個才會變的如此美妙。這是一般意義上的riemann積分，這個概念也可以自然的推廣到高維，因此在高維的時候定積分仍然有很大的用處，不定積分卻相形見絀了。但是事實上riemann積分侷限性是非常大的，他需要被積函式的不連續點不能太多（零測集）才行，所以偉大的數學家lebesgue天才的重新定義了乙個集合的大小（測度），並且不去分這個集合，而是將被積函式的值域無限細分，在與每乙個小塊的測度進行運算，給出了適用性更廣的lebegue積分，這個積分除了少數可積但不絕對可積的函式之外，完整地保留了riemann積分的所有性質。進一步的，後來的科學家給出了公理化的測度論，有了所謂抽象分析的數學分支。同時這種積分也為泛函分析提供了豐富的範例，在數學的眾多分支上有著重要地位。（當然lebesgue積分的計算是乙個非常複雜的問題，一般來講黎曼不可積但勒貝格可積的函式的積分是很難精確算出來的，但這並不妨礙其理論價值）
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