正向運動學和反向運動學
上次製作的骨骼動畫例子程式並不完美，我在程式裡面也說了，因為沒有牽涉到反向運動學的知識，所以人物運動起來感覺腳無法收縮、頭髮無法飄逸的感覺。其實在現實中這樣的情況是要避免的，但是由於在動畫設計的時候要指定每乙個關節，顯得非常費事。所以引入了反向運動學這個概念。在介紹反向運動學之前，首先讓我們看一下正向運動學。
正向運動學，通俗來說是給定父骨骼位置以及它的變換來得出子骨骼的位置以及變換，打乙個比方，就像運動手臂，可以帶動手肘，進而帶動手掌運動。正向運動學的概念是非常容易理解的，實現起來也比較方便，即在場景中先繪製父骨骼，應用父骨骼的變換，然後根據這個變換繪製子骨骼，以此類推。我們可以用下面偽**來表示：
pushmatrix( );
renderparentbone( );
pushmatrix( );
renderchildbone( );
……popmatrix( );
popmatrix( );
解決三維中反向運動學的問題的方法是分析型（一稱解析型）的和數值型方法。分析型的方法給出了乙個完整的求解思路，可是求解的效率不高，尤其是反向運動學的關節鏈很長的時候，在實時演算的領域（比如說遊戲領域）就不是乙個可行的方法。數值型方法是乙個好方法，它類似於啟發式搜尋的方法，即先試錯然後逐步修正，最終得到近似解。下面簡單介紹一下數值型方法中兩種解法：迴圈座標下降（cyclic coordinate decent）法和雅可比矩陣（jacobian matrix）法。
雅可比矩陣法描述了整個關節鏈，每乙個矩陣的列表示了每個關節的末端變化。解雅可比矩陣可不是一件容易事情，所以這只在非實時領域或者高階ik解算器中會得到使用。
迴圈座標下降法是一種簡單而可行的辦法，它由關節鏈的末端出發，層層向上遞推旋轉到目標位置，而且層層迭代以確保準確性，但是效果可能並不好，常常發生在與末端關節連線的關節上，導致的是扭轉變形的關節鏈。但是速度還是***的。
我在研究了幾種方法之後覺得還是從迴圈座標下降方法開始研究，於是在參考資料和前輩們的原始碼幫助下製作出了下面的演示程式。
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物理運動學公式彙總
一 直線運動,自由落體運動 二 曲線運動 萬有引力 三 力 常見的力 力的合成與分解 四 動力學 運動和力 五 振動和波 機械振動與機械振動的傳播 六 衝量與動量 物體的受力與動量的變化 一 質點的運動 1 直線運動 1 勻變速直線運動 1.平均速度v s t 定義式 2.有用推論vt vt vo ...