最近幾個月因為工作接觸到了機械臂的專案，突然對機械臂運動方法產生了興趣，也就是如何控制機械臂的位置和姿態。借用一張網上的，應該是ur5的尺寸。我用到的是ur3機械臂，除了尺寸不一樣，各關節結構和初始位置和ur5是一樣的。
轉動關節θi是關節變數，連桿偏移di是常數。關節編號α(繞x軸)a(沿x軸)θ(繞z軸)d(沿z軸)
1α1=900θ1d1=89.2
20a2=-425θ20
30a3=-392θ30
4α4=900θ4d4=109.3
5α5=-900θ5d5=94.75
600θ6d6=82.5
由此可以建立座標系i在座標系i-1的齊次變換矩陣，注意每次不管平移還是旋轉是相對於當前的運動座標系變換，矩陣右乘
那麼把dh引數代入就可以得到所有相鄰座標系的變換矩陣
所以末端座標系6到基座固定座標系0的變換矩陣
t的左上角的3x3矩陣是旋轉矩陣，旋轉矩陣和旋轉向量之間可以通過羅德里格斯(rodrigues)變換進行轉換。opencv裡有相應的函式呼叫。演算法也比較簡單，不用opencv的函式自己寫**也不難。t的右上角3x1就是空間位置[x, y, z]。這樣有變換矩陣t得到六值座標，完成了正解。
逆解相對要複雜一些，由末端的空間位置和姿態，計算可能的關節角度。逆解的方法有解析法，迭代法和幾何法。其中解析法用數學推導，可以得到全部根，但是計算複雜。有的機械臂可以得到無窮解，比如7軸機械臂。而ur的6軸機械臂是有有限解的。這裡推導一下ur的逆解。
首先計算求變換矩陣t過程其中的一些中間矩陣。
等式兩邊矩陣的行列應該分別相等，由第三行第四列得到
，有兩個解。這裡注意寫程式的時候，求解這裡的反正切是用atan2()這類的函式，返回之在(-π,+π]。而反余弦的返回值在[0,π]，從而保證在2π範圍每個解是唯一的。
由第三行第三列得
計算
綜合有兩個解的情況，ur機械臂逆解總共由2x2x2=8組解。
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