1、二元函式偏導數定義：設函式z=f(x,y)在點$(x_,y_)$的某鄰域有定義，固定y=$y_$，是x從$x_$變到$x_+\delta x$時，函式的變化為$f(x_+\delta x,y_)-f(x_,y_)$。如果極限
\[\lim_\frac+\delta x,y_)-f(x_,y_)}\]
存在，則稱此極限為z=f(x,y)在$(x_,y_)$對x的偏導數，記做$\frac|_}^}}$
2、設函式z=f(x,y)在點$m_(x_,y_)$的某鄰域內存在二階偏導數$\frac$和$\frac$。如果$\frac$和$\frac$都在$m_(x_,y_)$點連續，那麼在點$m_$滿足
$\frac|_,y_)}=\frac|_,y_)}$
3、函式z=f(x,y)在點(x,y) 處的全增量$\delta z=f(x+\delta x,y+\delta y)-f(x,y)$可以表示為$\delta z=a\delta x+b\delta y+o(\rho )$。ab不依賴於$\delta x,\delta y$而僅僅與x,y有關，$\rho=\sqrt}+\delta y^}}$。
若z=f(x,y)在(x,y)可微，那麼偏導數存在，且z=f(x,y)在點(x,y)可微。且$a=f^}_(x,y),b=f^}_(x,y)$。
證明：由於可微，所以$\delta z=a\delta x+b\delta y+o(\rho )$。當$\delta y=0$時，$\rho=|x_|$，$\delta z=a\delta x+o(|x_|)$，同時除以$\delta x$，兩端求極限
\[f_^}(x,y)=\lim_\frac=\lim_(a+\frac)=a\]
同理$b=f^}_(x,y)$。
4、設函式z=f(x,y)在點$(x_,y_)$的某鄰域內存在偏導數$f_^}(x,y),f_^}(x,y)$，並且$f_^}(x,y),f_^}(x,y)$都在點$(x_,y_)$連續，那麼z=f(x,y)在點$(x_,y_)$可微。
證明：設
$\delta z=f(x_+\delta x,y_+\delta y)-f(x_,y_)$
$=[f(x_+\delta x,y_+\delta y)-f(x_,y_+\delta y)]+[f(x_,y_+\delta y)-f(x_,y_]$
將$f(x_+\delta x,y_+\delta y)-f(x_,y_+\delta y)$看做x的函式$f(x,y_+\delta y)$在$\delta x$處的增量。由於$f_^}(x,y)$在$(x_,y_)$鄰域內存在，所以$f(x,y_+\delta y)$在$\delta x$某鄰域內可導，根據微分中值定理，有
\[f(x_+\delta x,y_+\delta y)-f(x_,y_+\delta y)=f_^}(x_+\theta_\delta x,y_+\delta y)\delta x,(0<\theta_<1)\]
同理\[f(x_,y_+\delta y)-f(x_,y_)=f_^}(x_,y_+\theta_ \delta y)\delta y,(0<\theta_<1)\]
而$f_^}(x,y),f_^}(x,y)$都在點$(x_,y_)$連續所以
\[\lim_f_^}(x_+\theta_\delta x,y_+\delta y)=f_^}(x_,y_)\]
\[\lim_f_^}(x_,y_+\theta_\delta y)=f_^}(x_,y_)\]
所以存在無窮小$\alpha ,\beta $，當$\rho \rightarrow 0$時，有
\[f_^}(x_+\theta_\delta x,y_+\delta y)=f_^}(x_,y_)+\alpha\]
\[f_^}(x_,y_+\theta_\delta y)=f_^}(x_,y_)+\beta\]
所以$\delta z=f_^}(x_,y_)\delta x+f_^}(x_,y_)\delta y+\alpha\delta x+\beta\delta y$
由於$|\frac|$
$=|\frac}+\delta y^}}}|$
$\leq\frac}+\delta y^}}}+\frac}+\delta y^}}}$
$\leq|\alpha|+|\beta|\rightarrow 0$
所以$\lim_\frac=0$
即$\alpha\delta x+\beta\delta y=o(\rho)(\rho\rightarrow 0)$
所以$\delta z=f_^}(x_,y_)\delta x+f_^}(x_,y_)\delta y+o(\rho)$。即z=f(x,y)在$(x_,y_)$可微。
5、設函式f(x,y)，$\varphi (x,y)$都具有連續偏導數，在$\varphi (x,y)=0$時求f(x,y)的極值。
(1)引入拉格朗日乘數$\lambda $,$f(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda \varphi (x,y)$
(2)求三元函式$f(x,y,\lambda)$的駐點，即方程組
\[f_^}=f_^}(x,y)+\lambda \varphi _^}(x,y)=0\]
\[f_^}=f_^}(x,y)+\lambda \varphi _^}(x,y)=0\]
\[f_^}=\varphi(x,y)=0\]
的所有解$(x_,y_,\lambda _)$
(3)判斷$(x_,y_,\lambda _)$是否為$f(x,y,\lambda)$的極值點。
微積分學習筆記五 多元函式微積分
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