1、正項級數$\sum_^u_$收斂的充要條件是它的部分和$s_=\sum_^u_$有上界。
2、正項級數常用的幾種判別方法：
（1）對於$\sum_^u_$和$\sum_^v_$，如果$u_\leq v_$，那麼如果前者發散，後者發散，後者收斂前者收斂。
（2）對於$\sum_^u_$和$\sum_^v_$，$l=\lim_\frac}}(0\leq l0則同時收斂或者同時發散，l=0前者發散後者發散，後者收斂則前者收斂。
（3）對於$\sum_^u_$，$l=\lim_\frac}}$或者$l=\lim_\sqrt[n]}$，l<1收斂；l=1不能確定；l>1發散。
（4）對於$\sum_^u_$，滿足$u_\geq u_> 0$，且存在乙個單調遞減函式 f(x)，使得x取整數時 $f(n)=u_$,那麼級數與反常積分$\int_^f(x)dx$有一樣的斂散性。
3、交錯級數判定：如果$u_\geq u_$且$\lim_u_=0$，那麼級數收斂，且小於等於$u_$。
4、對於任意項級數$\sum_^u_$，$l=\lim_\frac}}$或者$l=\lim_\sqrt[n]}$，l<1收斂；l>1發散。
5、泰勒中值定理：函式f(x)在含$x_$的某個開區間(a,b)具有n+1階導數，那麼對(a,b)內任意一點x，有$f(x)=f(x_)+f^(x_)(x-x_)+\frac(x_)}(x-x_)^+...+\frac(x_)}(x-x_)^n+r_(x)$，其中$r_(x)=\frac(\xi )}(x-x_)^$，$\xi$是介於x和$x_$之間的某個值。
6、若函式f(x)在$x_$的某鄰域內有任意階導數，則級數$f(x)=f(x_)+f^(x_)(x-x_)+\frac(x_)}(x-x_)^+...+\frac(x_)}(x-x_)^n+...$在該鄰域內收斂於f(x)的充要條件是餘項$r_(x)$滿足對於鄰域內任何x,$\lim_r_(x)=0$。
7、 $e^=1+x+\frac}+...+\frac}+...$
$sin x=x-\frac}+\frac}-...+(-1)^\frac}+..$
$cos x=1-\frac}+\frac}-...+(-1)^\frac}+..$
$ln(1+x)=x-\frac}+\frac}-...+(-1)^\frac}+.. (x\in (-1,1])$
8、$y^+py^+qy=f(x)$。f(x)=0，則為二階常係數齊次線性微分方程。
9、$y^+py^+qy=0$的解：解方程$x^+px+q=0$
（1）若$p^-4q>0$，$r_$與$r_$是兩個相異的實根，通解為$y=c^e^x}+c^e^x}$.
（2）若$p^-4q=0$，解為$r_$，通解為$y=(c_+c_x)e^x}$
（3）若$p^-4q<0$，$r_=\alpha +i\beta $,$r_=\alpha -i\beta $,$\alpha=-\frac$,$\beta =\frac}}$,$i=\sqrt$,通解為$y=c_e^+c_e^=e^(c_cos(\beta x)+c_sin(\beta x))$
微積分 學習筆記
1階導 frac 2階導 frac frac y n階導 frac y 基本導數 c 0 x n n x sin x cos x cos x sin x e x e x e c e 鏈式法則 a x e a x ln a 除法法則 也可以用鏈式法則 1 次方去理解 csc x frac 1 frac...
微積分學習筆記五 多元函式微積分
1 二元函式偏導數定義 設函式z f x,y 在點 x y 的某鄰域有定義，固定y y 是x從 x 變到 x delta x 時，函式的變化為 f x delta x,y f x y 如果極限 lim frac delta x,y f x y 存在，則稱此極限為z f x,y 在 x y 對x的偏導...
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