1、含有n個未知數的線性方程組ax=b： （1）無解 則$r(a)2、向量組a:$a_,a_,...,a_$,b:$\beta _,\beta_,...,\beta_$。
（1）若b中每個向量都可以由a線性表示，則稱b能由a線性表示。若可以互相線性表示，則稱ab等價。
（2）b能由a線性表示的充要條件是矩陣$a=(a _,a_,...,a_)$的秩等於矩陣$(a,b)=(a _,a_,...,a_,\beta_,\beta_,...,\beta_)$的秩。
（3）ab等價則r(a)=r(b)=r(a,b)
（4）b能由a表示則$r(b)\leq r(a)$。
3、線性相關：
（1）設由向量組$a_,a_,...,a_$構成的矩陣$a=(a _,a_,...,a_)$,則向量組線性相關的充要條件為$r(a)（2）n個m維向量組成的向量組，當m（3）向量組線性相關僅當至少有乙個可由其他n-1個線性表示。線性無關則任意乙個都不能由其他的n-1個線性表示。
4、向量組的秩：
（1）向量組a中取出r個向量$a=(a _,a_,...,a_)$組成的向量$a_$滿足$a_$線性無關且任取出r+1個組成的向量都線性相關，則稱$a_$為a的最大線性無關組，r=$r_$。
（2）線性無關組一般不唯一，且任一最大線性無關組與a等價，任意兩個線性無關組等價。
5、線性方程組的解：
（1）ax=0的一組解$\varepsilon _,\varepsilon _,,...,\varepsilon _$滿足線性相關且任意一組解都能表示成它們的線性組合，則稱其為ax=0的乙個基礎解系。
（2）ax=0,r(a)=r（3）ax=b的通解，為ax=0的基礎解系加上ax=b的乙個特解。
6、向量內積：
（1）$\alpha^ =(a_,a_,...,a_),\beta^=(b_,b_,...,b_)$，則稱$[\alpha,\beta]=\sum_^a_b_$為$\alpha,\beta$ 的內積。
（2）施瓦茨不等式:$[\alpha,\beta]^\leq [\alpha,\alpha][\beta,\beta]$
（3）記||a||=$\sqrt$=$\sqrt^+a_^+...+a_^}$為向量a的長度。
（4）$||\alpha+\beta||\leq ||\alpha||+||\beta||$
（5）$\left | \left \| \alpha \right \|-\left \| \beta \right \| \right | \leq \left \| \alpha-\beta \right \|$
（6）若$[\alpha,\beta]=0$，則稱$\alpha,\beta$正交。兩兩正交的向量組稱為正交向量組。正交向量組線性無關。
7、施密特正交化：設$\alpha_,\alpha_,...,\alpha_$線性無關，得到一組$\beta_,\beta_,...,\beta_$，其中，$\beta_=\alpha_$,$\beta_=\alpha_-\sum_^\frac,\alpha_]},\beta_]}\beta_$，$\beta_,\beta_,...,\beta_$是乙個正交向量組。
8、正交矩陣：
（1）若n階方陣a滿足$aa^=a^a=e$，則a稱作正交矩陣。
（2）a是正交矩陣的充要條件是列向量都是單位矩陣，且兩兩正交。
（3）正交矩陣的逆等於轉置，且逆和轉置仍是正交矩陣，兩個正交矩陣的乘積仍是正交矩陣，行列式等於$\underline1$
9、特徵值和特徵向量：
（1）若存在數$\lambda $和非零向量x滿足$ax=\lambda x $，則稱$\lambda$為a的特徵值，x為對應於$\lambda$的特徵向量。
（2）設$\lambda_,\lambda_,...\lambda_$為a的特徵值，則$\prod_^\lambda_=|a|,\sum_^\lambda_=\sum_^a_$
（3）a可逆，$\lambda$為a的特徵值，那麼$\lambda\neq 0,\frac$是$a^$的特徵值,$a^$的特徵值為$\frac$.
（4）若特徵向值各不相同，則特徵向量線性無關。
10、相似矩陣：
（1）存在可逆矩陣p使得$p^ap=b$，那麼稱ab相似。
（2）相似矩陣秩相等。
（3）ab相似，則$a-\lambda e$與$b-\lambda e$相似，a的逆與b的逆相似,且ab的特徵多項式和特徵值都相等。
（4）a有n個線性無關的特徵向量，則存在p使得$p^ap=\lambda $,$\lambda$為對角陣。
《深度學習》 線代基礎
前言 花了乙個多月參加乙個比賽，真的是心力交瘁，累！剛開始接觸到深度學習的時候就知道花書了，看過一眼，但當時初見難免對這本演算法有些畏懼，如今幾個月過去了，對部分的演算法也有些許的了解，抽出閒暇時間，休閒讀。主要是大牛寫的書，希望讀的時候能有乙個思維的跳躍。我將懷著一顆敬畏之心閱讀每一本書。公式引入...
筆記 線代第二章 線性空間
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飛花的線代
time limit 1000ms memory limit 65536k 有疑問？點這裡 飛花壕的線代一直非常的壕 好 線代考試每次都是全班第一。一次，飛花壕在預習線代的過程中看到了乙個新的問題，矩陣！他研究了三年，終於研究明白了，他來向你炫耀他所研究出來的成果，他給了你兩個矩陣，問你兩個矩陣的和...