1階導：\(\frac \)
2階導：\(\frac )}=\frac y}}\)
n階導：\(\frac y}}\)
基本導數：
\(c'=~0\)
\((x^n)'= ~n~x^\)
\((\sin x)'= ~\cos x\)
\((\cos x)'=~ -\sin x\)
\((e^x)'= ~e^x\)
\((e^)'=~c~e^\)
鏈式法則：
\((a^x)'= [e^]'~=a^x~\ln a\)
除法法則：(也可以用鏈式法則\(-1\)次方去理解)
\((\csc x)'=(\frac 1 )'=~-\frac =~-\csc x \cot x\)
\((\sec x)'=(\frac 1 )'=~\frac =~\sec x \tan x\)
\((\tan x)'=~\frac 1=~\sec^2 x\)
\((\cot x)'=~-\frac 1=~-\csc^2 x\)
逆函式法則：
\((\ln x)'=~\frac 1 x\)
\((\log_a x)'=~\frac 1 \)
\((\arcsin x)'=(\sin^ x)'=~\frac 1}\)
\((\arccos x)'=(\cos^ x)'=~-\frac 1}\)
\((\arctan x)'=(\tan^ x)'=~ \frac 1 \)
\((arccot~x)'=(\cot^ x)'= ~ -\frac 1 \)
以下\(a,b\)為常數
加減法則：\((a f\pm bg)'=a~f'+b~g'\)
乘法法則：\((fg)'=f~g'+g'~f\)(矩形面積法證明)
除法法則：\((\frac f g)'=\frac \)
鏈式法則：\([~f(g(x))~]'=\frac =\frac \frac =f'(g(x))~~g'(x)\)
（外函式求導*內含數求導）
逆函式法則：\([~f^(y)~]'=\frac =\frac }=\frac 1\)
(逆函式又叫反函式，就是x,y交換，如\(e^x\)與\(\ln x\))
冪法則(由鏈式法則得)：\([f(x)^n]'=n~ f^f'\)
洛必達法則：\(\lim\limits_\frac =\lim\limits_\frac\)
高階導：
\((a\pm b)^=a^\pm b^\)
\((ca)^=c~a^\)
\((ab)^=\sum\limits_^n\binom n ka^b^~~~~(長得像二項式定理，用數學歸納法證明)\)
1.\(y'\)代表了斜率的變換，與單調性相關
\(y'=0\)時函式取得極值(不同於最大值最小值，極值是區域性的)
2.\(y''\)代表了函式的彎曲性(凹凸性)，與函式增長速度有關
\(y''<0且y'=0\)為max
\(y''>0且y'=0\)為min
\(y''=0\)為拐點(彎曲性改變)
\(\lim\limits_\frac =0\)
證明：\(\frac =\frac \)
就是\(\cos\)在\(0\)處的導數
而\(\cos\)在\(0\)處取得極值，導數為0
\(\lim\limits_\frac =1\)
證明：\(\because 0<\delta x<\frac 2\)
\(\therefore \sin\delta x<\delta x,\tan\delta x>\delta x\)
\(\therefore \frac <1,\frac >\delta x\)
\(\therefore \frac <1,\frac >\cos \delta x\)
被\(\cos\)和\(y=1\)兩條線夾著
\(\therefore \lim\limits_ \frac =1\)
\((\sin(x))'=\cos(x),(\cos(x))'=-\sin(x)\)
證明：\[\begin
\sin'(x)&=\frac \\
&=\frac\\
&=\sin(x)\frac +\cos(x)\frac\\
&=cos(x)\\
同理可證：
cos'(x)&=-\sin(x)
\end
\]\((x^)'=\frac a b x^\)
證明：\[\begin
(x^)^&=1\\
\frac b a~(x^)^\frac &=1\\
\frac&=\frac a bx^\\
\frac&=\frac a b x^
\end
\]\(e^\)其中\(a\)為常數
\((e^)'=a~e^\)
證明：令\(y=g(x)=ax\),\(~f(y)=e^y\)
\((f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)=e^y*a=a~e^\)
\(f'=cf+d\)，其中\(c,~d\)為常數
則\(f'=c(f+\frac dc)\)
\(\because(a\pm b)'=a'\pm b'\)
\(\therefore (f+\frac dc)'=c(f+\frac dc)\)
和\(f'=c~f\)長得很像,由\(f'=c~f\)可得\(f=ae^\)
所以由\((f+\frac dc)'=c(f+\frac dc)\)可得
\(f=ae^-\frac dc\)
\((x\ln x-x)'=ln x\)
8.拉格朗日中值
連續光滑曲線中
區間\([a,b]\)中有一點瞬時斜率等於區間的平均斜率
用導數求出的函式極值可能在限制範圍外，要特判
對於函式\(f(x)\)，若求出原函式\(g(x)\)
使得\(\delta g(x)=g(x+\delta x)-g(x)=f(x)\)
那麼我們隊\(f(x)\)的求和，就可以轉化成\(\delta g(x)\)的求和
而\(\delta g(x)\)的求和相鄰兩項會消掉一些東西
最後變成了\(\delta g(x)_-\delta g(x)_\)
而不難發現\(\delta g(x)\iff slope~g(x)\)
所以原函式就是：導數為\(f(x)\)的函式
微積分學習筆記五 多元函式微積分
1 二元函式偏導數定義 設函式z f x,y 在點 x y 的某鄰域有定義，固定y y 是x從 x 變到 x delta x 時，函式的變化為 f x delta x,y f x y 如果極限 lim frac delta x,y f x y 存在，則稱此極限為z f x,y 在 x y 對x的偏導...
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微積分學習筆記三 定積分
1 介值定理 設f x 是區間 a,b 上的連續函式，那麼對於任意的u，f a u f b 或者f b u f a 在 a,b 上存在c使得f c u。2 積分中值定理 如果函式f x 在 a,b 連續，那麼在 a,b 上至少存在一點 使得 int f left x right dx f left ...