概率論入門基本公理

這篇文章將介紹概率論的核心法則。如果你對概率論很陌生，我建議首先閱讀概率論入門的第一篇，熟悉概率論中的基本定義和記號。

數學家探索數學的新領域的時候，常常從一組定義可以做什麼的規則開始。這有點像剛發明足球的時候定下規則「每對11人，手不能觸球，不能越位，等等」。一旦確立了規則，球員和球隊經理便可以自由探索，創造新的球技和隊伍組合。

概率論（以及一般數學）沒什麼兩樣。我們將這些規則稱為公理（axiom）。一旦確立了規則，數學家便興奮異常地探索新的定理和結果。你可以做任何你想做的，只要遵循公理。

讓我們檢視下概率論的公理。

第一條法則表述為乙個事件的概率大於等於零。事實上，我們可以進一步地說，乙個事件的概率在0和1之間（含）。

在數學上表達為：

「事件」指「某事發生了」。例如，我們可能談論明天的天氣，事件是明天下雨了。明天下雨的概率可能是0.5，數學上表達為：

我們可以組合結果為乙個事件，比如說乙個事件是明天下雨或下雪的結果。在這種方式下，事件實際上是一組結果。

這條法則表述為至少一種可能的結果發生的概率為1。讓我自由散漫一下，換種說法，如果你把所有可能結果的概率加起來，所得概率之和為1. 硬核數學家會抓住我的錯誤，但在我們遇到的大多數情況下，第二種說法是成立的。

讓我們以投擲6面骰為例。擲出骰子後，六個數字都有可能，骰子的點數必然是1、2、3、4、5、6其中之一。因此，我至少得到其中一種點數的概率是1. 概率等於1意味著我們確定（certain）。

我的第二種說法也是成立的。總共有6種可能性，擲出任何點數的概率是1/6. 因此，如果我們把擲出1、2、3、4、5或6點的概率加起來，我們得到的結果是1. 如下式所示：

p(die = 1) + p(die = 2) + p(die = 3) + p(die = 4) + p(die = 5) + p(die = 6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 = 1.

把概率之和的每一項都寫出來太枯燥乏味了，特別是在有幾百種結果的情況下。所以數學家會用簡短的寫法：

那個長得很像「e」的大字母是希臘字母西格瑪（σ），這個符號意味著相加，下標和上標分別表示從**開始，到**結束。所以上式表示「從i=1開始，一直到i=6結束」。

所以我們可以將陳述「所有可能結果的概率相加等於1」在數學上表示為：

有乙個專門的術語可以代替「所有可能結果」——它稱為取樣空間。因此，6面骰的1、2、3、4、5、6點實際上是取樣空間。在數學上，取樣空間記為ω. 所以我們也可以將上式寫成：

這條公理也許是讀起來最讓人疑惑的，但我在之前提到過的零基礎概率論入門的第一篇介紹概率互斥的時候已經涉及這條公理。這裡我將通過乙個例子說明。

這條公理表示為如果兩事件互斥（即兩事件不可能同時發生），那麼這兩個事件其中有乙個發生的概率等於各個事件發生的（邊緣）概率之和。我早說過了，這讓人疑惑。讓我們嘗試通過第一篇中的乙個例子來說明。

假設我們擲出乙個均勻的6面骰，想要知道擲出5點或6點的概率。這兩個事件是互斥的，因為我們無法同時擲出5點和6點。因此擲出5點或6點的概率等於擲出5點的概率加上擲出6點的概率：1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

在數學上，這條公理可以表示為：

給定結果1和結果2互斥（不能同時發生），我們有

我知道，相比之前的文章，這篇可能比較沉悶，但我覺得介紹這些基礎內容很重要，理解更高階的概念需要這些基礎。

概率論入門 基本公理