我們剛開始學習線性代數的時候，往往都是從行列式的計算開始的。在學習了矩陣和線性變換的內容後，我們就可以非常方便地理解行列式的意義。我們使用 det
detde
t 來表示乙個矩陣的行列式。讓我們先來看看行列式的公式，我們假設有乙個 2×2
2 \times 2
2×2 的矩陣。
det在對向量空間運用線性變換後，會對向量空間進行一定的縮放。有一些將空間向外拉伸，有一些將空間向內壓縮。([ab
cd])
=a×d
−b×c
det \left( \begin a & b \\ c & d \end \right) = a \times d - b \times c
det([a
cbd
])=
a×d−b×c
為了能夠計算出這個縮放比例，我們使用行列式來進行計算，也就是說行列式是用來計算矩陣待變的線性變換對向量空間的縮放比例，在下面我們再討論行列式的公式是怎麼來的，首先先理解行列式的幾何意義。
在二維空間中我們以 1×1
1 \times 1
1×1 面積為一的正方形為基礎來衡量線性變換對二維空間的縮放比例。
首先用幾個最簡單的例子來感受一下行列式就是空間縮放比例這個概念
從上面的例子中感受了矩陣的行列式就是線性變換對空間的縮放比例後，我們再來看看這裡行列式的公式是怎麼來的。其實這個行列式公式的推導非常簡單，這裡放一張，我們可以自己照著來推導行列式的公式。
我們前面討論的行列式是基於 2×2
2 \times 2
2×2 矩陣的基礎上的，也就是利用行列式計算線性變換對二維平面的縮放比例。如果將行列式運用到了 3×3
3 \times 3
3×3 的矩陣上面，那就是利用行列式計算線性變換對三維空間的縮放比例。
在三維空間中，行列式為0也是代表線性變換將向量空間壓縮到了更小的維度，這裡有三種情況，分別是將三維空間壓縮成一張平面，一條直線和乙個點。
在三維空間中，行列式的正負符合左右手定則。
在後面的公式推導部分跟 2×2
2 \times 2
2×2 矩陣的方法一樣，將原來體積為1的 1×1
×11 \times 1 \times 1
1×1×
1 正方體縮放後再減去那些無用的空間，直到剩下變換後的平行六邊形。
在理解了行列式的幾何意義和前面線性變換和復合變換後，讓我們來嘗試理解下面的等式為什麼能夠成立
det(a×b
)=de
t(a)
×det
(b)det(a \times b) = det(a) \times det(b)
det(a×
b)=d
et(a
)×de
t(b)
線性代數行列式知識
最近入坑機器學習，線性代數的知識用到很多，所以就回顧了一下，發現也是挺有意思的。行列式對於方陣給出乙個特殊的定義值，與方陣的秩和方陣對應的齊次線性方程有沒有唯一非零解有著很大的關係。定義當n 2 n geq2 n 2時，n n n times n n n矩陣a aij a begina end a ...
數學 線性代數 行列式
前言 為了處理力學等方面的問題，引入了計算兩個向量垂直的向量。這就是向量叉乘的 為了更好的研究叉乘的特性與運算，然後又引入了行列式的概念。公理行齊次性 若b是將矩陣a的某一行乘以乙個純量t所得的矩陣，則detb tdeta 行相加不變性 若b將矩陣a中的某一行加到另一行中所得的矩陣，則det b d...
線性代數 行列式1
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