我們可以從乙個角度去理解線性代數中行列式的意義，即是變換前後尺度的變換的比例，這個尺度在一維情況可以理解為是長度，在二維情況可以理解為是面積，在三維情況可以理解為是體積...
具體而言
1.一維的行列式，那自然就是乙個數，這個好理解，如果乙個變換的行列式是 5， 那麼這個變換本身也就是5，施加5給乙個什麼東西，其實就是乘以5，那麼最後尺度的變換自然也就是5倍比例。
2.二維行列式，那就是乙個可以想象成乙個2x2的形式，可以想象成是二維空間裡乙個線性變換前後的面積比。
3.三維行列式，就是體積比。
所以，如果乙個行列式的值為0，代表這個行列式無論施加給誰，變換後的面積/體積都是0。因此這樣的變換肯定是把原來東西往乙個更低維度的東西去變換，也叫做退化變換，我們就稱這個變換是退化的。具體體現就是，把乙個三維的東西變成了一維或者二維。
因此，行列式值為0，也代表這個變換是不可逆的，因為如果三維變成了二維，那麼可以視為有乙個維度被壓縮了，並且是壓縮成0了。所以經過了這個變換以後，再也找不到這個維度原來的資訊，無法實施逆變換。更好理解的方式是在一維裡去思考，也就是如果5施加5的變換，那麼得到25，25施加5的逆變換也就是乘以1/5得到5，但是如果5施加0的變換，得到0，0再也無法通過變換得到5.
ok小結一下，行列式的乙個意義是一種變換前後尺度的變換大小，如果乙個變換是退化的，代表變換後維數下降了。變換可以將乙個維數壓縮成0，但卻不能講0恢復成乙個新的維度，因此有可逆變換和不可逆變換之分，相對應的就是可逆矩陣和不可逆矩陣。
從這一點出發，可以幫助我們理解一些矩陣的運算法則，例如如下圖所示的關於方陣的運算性質，首先為什麼限定是方陣，這是因為如果不是方陣，那麼這個矩陣一定是奇異的，即從行或列的角度來看，壓縮了某乙個維度，使得變換前後的面積（或體積等其他尺度，下同）比為0。
其次，對於矩陣a和他的轉置，他們本質上是座標的順序更換了一下，而我們可以理解成改變座標的名稱不影響實際的面積變換。
第三兩個變換的乘積的行列式等於他們的行列式的乘積，這點也好理解，因為兩個變換連續實施，對於面積來說就是兩次尺度的變換，這兩次尺度的變換的總效果就是兩次獨立的變換尺度的乘積。
第四，變換乘以常數倍，其行列式是常數倍的n次冪乘以變換，這也好理解，因為面積的計算是2次的，體積的計算就是3次了啊，也就是說，長寬增長兩倍，面積就會增長四倍，而長寬高都增長兩倍，那麼體積就會增長8倍！
數學 線性代數 行列式
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