排序和逆序數由 n
個數 1,
2...,n
組成的乙個無重複的有序陣列 i1
i2⋯i
n 稱為乙個
n 級排列。而
n級排列共有 n!
個，因為這是個全排列的問題。
逆序數指的是在乙個
n 級排列中，較大數排在較小數之前這種組合（稱為逆序）的總個數，用 τ(
i1i2
⋯in)
表示。如 τ(
53241)=
4+2+
1+1=
8 ，為偶排列。
一般來說，我們定義逆序數的概念，只想知道其奇偶性，對於數值具體多少並不關心。如果交換任意的兩數的位置，則稱為一次對換操作，且排列的奇偶性被改變。
n階行列式定義由 n
2 個元素組成的
n 行
n列組成的式子稱為
n 階行列式，展開以後一共有 n!
項，如下： ∣∣
∣∣∣∣
∣a11a
21⋮an
1a12a
22⋮an
2⋯⋯⋱
⋯a1n
a2n⋮
ann∣
∣∣∣∣
∣∣=∑
j1⋯j
n(−1
)τ(j
1⋯jn
)a1j
1⋯an
jn相當於說每行選乙個矩陣項出來，但是列數不能重複，莫非簡化版是
n 皇后問題？對於選出來的項 ai
j的符號問題，如 a12
a31a54
a43a25
，先按照第乙個下標排序，得到 a12
a25a31
a43a54
，計算第二個下表的逆序數 τ(
25134)=
1+3=
4 ，因此是偶排列，符號取正號。
特殊的行列式
有幾種特殊的行列式，也非常常用。如上三角行列式和下三角行列式，其對角線以下或者以上均為全零元素。行列式的值為對角線元素的乘積。 ∣∣
∣∣∣∣
a110⋮
0a12a
22⋮0⋯
⋯⋯a1
na2n
⋮ann
∣∣∣∣
∣∣=∣
∣∣∣∣
∣a11a
21⋮an
10a22
⋮an2
⋯⋯⋯0
0⋮an
n∣∣∣
∣∣∣=
a11a22
⋯ann
當然如果是副對角線的話，符號就不一定是正的了。
還有特殊的範德蒙行列式， ∣∣
∣∣∣∣
1x1⋯
xn−1
11x2
⋯xn−
12⋯⋯
⋯⋯1x
n⋯xn
−1n∣
∣∣∣∣
∣=∏1
≤jn(xi
−xj)
顯然，對於 i=
1,..
.,n ， 只有所有的 xi
互不相等的時候，行列式才不等於零。
行列式的性質
性質3 某行（列）的公因子可以提取到行列式外。
性質4 行列式可以按照某行拆分成兩個行列式。
性質5 將行列式某行（列）的
k （常數）倍加到另一行（列）上去，不改變值。
行列式按行（列）展開定理
行列式可以通過余子式降階，按照行或者列展開。去掉元素 ai
j所在的第
i 行和第
j列，剩下的元素形成的子矩陣就是余子式 mi
j ，代數余子式則要加上乙個符號，有代數余子式 ai
j=(−
1)i+
jmij
.如三階行列式 ∣∣
∣∣14
7258
369∣
∣∣∣ 中，元素 a21
的余子式為 m21
=∣∣∣
2839
∣∣∣ ，代數余子式為 a21
=(−1
)2+1
m21=−
∣∣∣2
839∣
∣∣注意余子式和代數余子式都是行列式，是乙個值，和矩陣的符號也是不一樣的。
找規律，練習題。
先來看線性方程組的概念。方程組
⎧⎩⎨⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪a
11x1+
a12x2
+⋯a1
nxn=
b1a21
x1+a
22x2+
⋯a2n
xn=b
2⋮an
1x1+
an2x
2+⋯a
nnxn
=bn
稱為是
n 元
m個方程的非齊次線性方程組。如果等號右邊的 bi
全部取零，那麼就叫做齊次線性方程組。
上面的非齊次線性方程組也可以寫成矩陣的形式，ax
=b， 其中係數矩陣
a ，變數
x 和常數項
b 表示如下：
a=⎡⎣
⎢⎢⎢⎢
⎢a11a
21⋮am
1a12a
22⋮am
2⋯⋯⋱
⋯a1n
a2n⋮
amn⎤
⎦⎥⎥⎥
⎥⎥m×
n,x=
⎡⎣⎢⎢
⎢⎢x1
x2⋮x
n⎤⎦⎥
⎥⎥⎥n
×1,b
=⎡⎣⎢
⎢⎢⎢b
1b2⋮
bn⎤⎦
⎥⎥⎥⎥
由係數矩陣（coefficient matrix）和常數項組成的矩陣稱作是增廣矩陣（augmented matrix）
a¯¯¯
=⎡⎣⎢
⎢⎢⎢a
11a21⋮
am1a
12a22⋮
am2⋯
⋯⋯a1
na2n
⋮amn
b1b2
⋮bm⎤
⎦⎥⎥⎥
⎥
克萊姆法則表述如下，對於線性方程組 an
×nx=
b ，若行列式 |a
|≠0 ，則方程組有唯一解，
xj=d
jd,j
=1,2
,...
,n其中，d=|
a|，dj
為 |a
| 中的第
j 列用常數項
b替換後得到的行列式。
2021 線性代數 第一章 行列式
中心一 方程組 中心二 矩陣對角化 行列式本質是乙個數或者是乙個式子 含有未知數字母 這個數的幾何含義是以行列式為矩陣進行變換時的空間大小變化情況，二維時是面積 三維是體積 1 逆序 逆 任取兩個不等的自然數i j，如果i 4,1,5,3,2 的逆序數為 3 0 2 1 0 6 3 行列式 d，行數...
線性代數行列式知識
最近入坑機器學習，線性代數的知識用到很多，所以就回顧了一下，發現也是挺有意思的。行列式對於方陣給出乙個特殊的定義值，與方陣的秩和方陣對應的齊次線性方程有沒有唯一非零解有著很大的關係。定義當n 2 n geq2 n 2時，n n n times n n n矩陣a aij a begina end a ...
數學 線性代數 行列式
前言 為了處理力學等方面的問題，引入了計算兩個向量垂直的向量。這就是向量叉乘的 為了更好的研究叉乘的特性與運算，然後又引入了行列式的概念。公理行齊次性 若b是將矩陣a的某一行乘以乙個純量t所得的矩陣，則detb tdeta 行相加不變性 若b將矩陣a中的某一行加到另一行中所得的矩陣，則det b d...