看傅利葉變換的時候，一直奇怪，冪指數是怎麼對映成三角函式的？學習了一下尤拉公式，果然很神奇，用到了自然常數e，圓周率π，虛數i，三角函式sin/cos，指數，還有泰勒展開．倒不是演算法有多難，只是涉及基礎太多，經常被卡住，總結如下．
泰勒展開是用多項式逼近原函式，這麼做是因為像sin(x)這樣的函式，如果代入x=4很難算出結果，但是將x的值代入形如f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3…的多項式就很容易計算。具體是用原函式的導數實現的，把函式展開成多項式，公式如下：
其中rn(x)是餘項
e是自然常數(尤拉數)，它是乙個約等於2.718的無理數，定義是
它的含義可以通過複利來理解，假設你有1塊錢，年利息是1塊錢（100%），一年後可拿到兩塊錢(1+1/1)^1=2；按利滾利計算，如果半年付一次利息(1+1/2)^2=2.25；乙個月付一次息，(1+1/12)^12=2.61；每天付一次息，(1+1/365)^365=2.715，當x驅於無窮時e約為2.718．
把e^x在x=0處展開，由於e^0=1且e^x的導數還是e^x，展開後得到
上圖是e^x，以及展開式前5項和前10項擬合的影象
複數是形如a+b*i的數，其中a,b是實數，i^2=-1.（對應直角座標系）
在復變函式(複數作為自變數和因變數的函式)中，變數z可以寫成z=r (cosθ+ isinθ) ．r是z的模，即r = |z|; θ是z的輻角，複數記作點z(a,b)或向量oz（對應極座標系）
把乘一次i看成相對0點逆時針轉90度，乘兩次，轉180度，轉成實軸的-1，轉三次是-i，轉四次又回到單位1。因此可以把其虛部看成定義如何旋轉。
虛數i是-1開方，因此有i^1=i, i^2=-1，i^3=-i，i^4=1
此時可以看到其結果分為實部和虛部兩部分
在x=0處展開，由於sin(0)=0，cos(0)=1，sin』(x)=cos(x)，cos』(x)=-sin(x)
在x=0處展開
由以上幾步，可以看到e^ix的實部和虛部正好對應sin(x)和cos(x)的展開，據此，得到尤拉公式：
尤拉公式將指數函式的定義域擴大到了複數域，建立了三角函式和指數函式的關係，被譽為「數學中的天橋」。
下圖中，將上式右側表示為二維座標中的點，xy軸分別表示其實部虛部，θ為轉角(即上式中的x)，轉動半徑為單位1（模不變）．它的幾何意義就是隨著虛部x的增加不斷轉圈．
可以把 e^(i*x) 看作通過單位圓的圓周運動來描述單位圓上的點，e^(i*x)表示在單位圓上轉動了x弧度(即某個角度時)得到的向量，以此類推，e^(πi)在單位圓上轉了半圈。顯然得到的是實軸上的-1，然後與1合併可抵消得到0 ，由此得到 ：
上圖中又加入了t，把e^(ix)想成e^(iwt)，t是時間，w是係數。
把平面上的轉圈擴充套件成了空間中的轉圈，縱軸表示時間t，兩個橫軸分別為實部(cos(t))和虛部(sin(t))，藍線經過的點是e^ix，即，把時域上的e^ix分別投射到了實軸cos(t)和虛軸sin(t)，它們都是時間t的函式．圖中可看到正餘和余弦的投射（紅／綠），如果用python做3d圖，拖動旋轉角度效果更直觀．這就傅利葉變換原理：將時域值拆分對映到頻域，通過三角函式的疊加表示。
尤拉公式（尤拉公式）
尤拉公式 euler s formula，又稱尤拉公式 是在復分析領域的公式，將三角函式與複數指數函式相關聯，因其提出者萊昂哈德 尤拉而得名。尤拉公式提出，對任意實數 都存在 其中 是自然對數的底數，是虛數單位，而 和 則是余弦 正弦對應的三角函式，引數 則以弧度為單位。這一複數指數函式有時還寫作 ...
FOC 演算法基礎之尤拉公式
foc電壓向量的推導 總結參考 foc中電壓向量合成的推導，對於尤拉公式的幾何意義做了乙個全面的回顧。尤拉是乙個天才，尤拉公式甚至被譽為上帝創造的公式，然後在foc演算法中也可以看到尤拉公式的影子，不過因為是最基礎的知識，所以基本上的換算都是一筆帶過，但是如果這裡沒有掌握就很難搞清楚實數平面如何換算...
2159 尤拉公式
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