虛數i這個概念大家在高中就接觸過，但那時我們只知道它是-1 的平方根，可是它真正的意義是什麼呢?
這裡有一條數軸，在數軸上有乙個紅色的線段，它的長度是1。當它乘以 3 的時候，它的長度發生了變化，變成了藍色的線段，而當它乘以-1 的時候，就變成了綠色的線段，或者說線段在數軸上圍繞原點旋轉了 180 度。
我們知道乘-1 其實就是乘了兩次 i 使線段旋轉了 180 度，那麼乘一次 i 呢——答案很簡單——旋轉了 90 度
同時，我們獲得了乙個垂直的虛數軸。實數軸與虛數軸共同構成了乙個複數的平面，也稱復平面。這樣我們就了解到，乘虛數i的乙個功能——旋轉。
現在，就有請宇宙第一耍帥公式尤拉公式隆重登場——
這個公式在數學領域的意義要遠大於傅利葉分析，但是乘它為宇宙第一耍帥公式是因為它的特殊形式——當x等於 pi 的時候。
經常有理工科的學生為了跟妹子表現自己的學術功底，用這個公式來給妹子解釋數學之美：」石榴姐你看，這個公式裡既有自然底數e，自然數 1 和0，虛數i還有圓周率 pi，它是這麼簡潔，這麼美麗啊！「但是姑娘們心裡往往只有一句話：」臭屌絲……「
這個公式關鍵的作用，是將正弦波統一成了簡單的指數形式。我們來看看影象上的涵義
尤拉公式所描繪的，是乙個隨著時間變化，在復平面上做圓周運動的點，隨著時間的改變，在時間軸上就成了一條螺旋線。如果只看它的實數部分，也就是螺旋線在左側的投影，就是乙個最基礎的余弦函式。而右側的投影則是乙個正弦函式;
個人理解：在此處，複數部分等同於另外乙個維度的空間，時間軸為x軸，實部為y軸，虛部為z軸；i的存在等同於將sin部分偏移90度。
數部分，也就是螺旋線在
有了尤拉公式的幫助，我們便知道：正弦波的疊加，也可以理解為螺旋線的疊加在實數空間的投影。而螺旋線的疊加如果用乙個形象的栗子來理解是什麼呢？
光波，高中時我們就學過，自然光是由不同顏色的光疊加而成的，而最著名的實驗就是牛頓師傅的三稜鏡實驗：
所以其實我們在很早就接觸到了光的頻譜，只是並沒有了解頻譜更重要的意義。但不同的是，傅利葉變換出來的頻譜不僅僅是可見光這樣頻率範圍有限的疊加，而是頻率從 0 到無窮所有頻率的組合。
這裡，我們可以用兩種方法來理解正弦波：
第一種前面已經講過了，就是螺旋線在實軸的投影。
另一種需要借助尤拉公式的另一種形式去理解：
將以上兩式相加再除2，得到：
這個式子可以怎麼理解呢？
我們剛才講過，e^(it)可以理解為一條逆時針旋轉的螺旋線，那麼e^(-it)則可以理解為一條順時針旋轉的螺旋線。而 cos (t)則是這兩條旋轉方向不同的螺旋線疊加的一半，因為這兩條螺旋線的虛數部分相互抵消掉了！
舉個例子的話，就是極化方向不同的兩束光波，磁場抵消，電場加倍。
這裡，逆時針旋轉的我們稱為正頻率，而順時針旋轉的我們稱為負頻率（注意不是複頻率）。
好了，剛才我們已經看到了大海——連續的傅利葉變換頻譜，現在想一想，連續的螺旋線會是什麼樣子：
是不是很漂亮？
你猜猜，這個圖形在時域是什麼樣子？
哈哈，是不是覺得被狠狠扇了乙個耳光。數學就是這麼乙個把簡單的問題搞得很複雜的東西。
順便說一句，那個像大海螺一樣的圖，為了方便**，我僅僅展示了其中正頻率的部分，負頻率的部分沒有顯示出來。
如果你認真去看，海螺圖上的每一條螺旋線都是可以清楚的看到的，每一條螺旋線都有著不同的振幅（旋轉半徑），頻率（旋轉週期）以及相位。而將所有螺旋線連成平面，就是這幅海螺圖了。
從傅利葉級數到傅利葉轉換公式
1 考慮到乙個函式可以展開成乙個多項式的和，可惜多項式並不能直觀的表示週期函式，由於正余弦函式是週期函式，可以考慮任意乙個週期函式能否表示成為一系列正余弦函式的和。假設可以，不失一般性，於是得到 f t a 0 n 1 a nsin n t n 2 將後面的正弦函式展開 an sin n t n a...
尤拉公式（尤拉公式）
尤拉公式 euler s formula，又稱尤拉公式 是在復分析領域的公式，將三角函式與複數指數函式相關聯，因其提出者萊昂哈德 尤拉而得名。尤拉公式提出，對任意實數 都存在 其中 是自然對數的底數，是虛數單位，而 和 則是余弦 正弦對應的三角函式，引數 則以弧度為單位。這一複數指數函式有時還寫作 ...
傅利葉 灰度
假設你原來的圖象為 i n,n 傅利葉變換後的矩陣為 f n,n 顯示傅利葉變換後的圖象其實就是顯示矩陣 f n,n 啊，因為變換後的係數是複數，所以取幅值。同時為了顯示方便，有時候會進行 normalize,把 f n,n 的範圍變換到0 255區間，有時候為了突出黑 白對比，還會進行對數運算 l...