關於數學中的範數

為了更好的理解範數，首先我們先函式與幾何圖形往往是有對應的關係，這個很好想象，特別是在三維以下的空間內，函式是幾何影象的數學概括，而幾何影象是函式的高度形象化，比如乙個函式對應幾何空間上若干點組成的圖形。但當函式與幾何超出三維空間時，就難以獲得較好的想象，於是就有了對映的概念，對映表達的就是乙個集合通過某種關係轉為另外乙個集合。通常數學書是先說對映，然後再討論函式，這是因為函式是對映的乙個特例。範數說白了也是一種函式就和f（x）一樣。

為了更好的在數學上表達這種對映關係，（這裡特指線性關係）於是就引進了矩陣。這裡的矩陣就是表徵上述空間對映的線性關係。而通過向量來表示上述對映中所說的這個集合，而我們通常所說的基，就是這個集合的最一般關係。於是，我們可以這樣理解，乙個集合（向量），通過一種對映關係（矩陣），得到另外乙個幾何（另外乙個向量）。那麼向量的範數，就是表示這個原有集合的大小。而矩陣的範數，就是表示這個變化過程的大小的乙個度量。

那麼說到具體幾幾範數，其不過是定義不同，乙個矩陣範數往往由乙個向量範數引出，我們稱之為運算元範數，其物理意義都如我上述所述。