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思考了一些關於範數的直覺性理解，想先記下來，好好消化消化。
關於矩陣的理解，這裡有一篇文章非常不錯，對矩陣的直覺理解有深入的剖析,如何理解線性代數
1.矩陣的本質是運動（躍遷）的描述，線性變換是描述運動的過程，所以線性變換可以用矩陣來表示。
2.乙個物件可以表達為無窮多個合理選擇的物件的線性和。所以向量表徵物件，無窮多個向量可以合理選擇線性組合表出其他向量。
我們這裡就把向量等價於乙個物件，乙個矩陣等價於乙個變換。
乙個向量有一定的維度，而這些維度可以看作這個物件的所有屬性，比如一頭大象有很多屬性--體重，個頭，長鼻子，大耳朵等。
書中定義的範數，是在一般的線性空間中，使用範數來定義乙個向量的長度。長度是什麼？就是兩個點之間的差別，那個這個差別如何而來？這樣的話，每個人有每個人不同的看法，每個人看得角度不同。
比如那頭大象是向量x，那麼乙個中國人來看這頭大象，他心目中產生的「大象」，就會和原始的大象產生差距，||x||a,就表示為向量x的a範數，表徵著這個大象由這個中國人來看會產生的現實大象與心中「大象」的差別。
那麼接下來定義乙個矩陣a，矩陣表徵著乙個空間到另乙個空間的對映，我們繼續來看大象，「現實」為乙個空間，「心中」為另乙個空間，大象從現實對映到心中，我們就可以用ax來表徵「心中的大象」，x-->ax的變換過程，就是通過矩陣a的變換得到，那麼矩陣的範數又是什麼呢？矩陣的範數便是這些變換的範圍，乙個人看大象，可能想到乙個動畫片中的小象的形象，可能想到泰國，甚至想到**（**吞大象嘛）,而從大象出發對映到這些想象的事物的對映所構成的空間，便是矩陣a的空間，a的a範數||a||a,便是乙個中國人的想象空間中對映的長度。那麼矩陣的範數當中，為什麼多了一條相容性的規則呢？我們定義乙個對映，也必須考慮到這個對映輸入的資料的範圍，比如f(x)=in(x),這個函式的x的範圍就必須大於0，如果乙個小於0的數x,就無法和這個對映in()相容，所以矩陣的範數與向量的範數相容也就是這個道理，我們定義乙個範數就是讓乙個嬰兒來看這頭大象，你說嬰兒能夠看得懂這是什麼玩意嘛？那麼我們定義的矩陣範數不止乙個，比如a範數是中國人看，b範數是美國人看，無論從向量範數比較（現實的大象和心中大象的差距），還是從矩陣範數比較（美國人可能不會想到**~~）都會產生不同。
那麼乙個矩陣範數總能找到乙個向量範數與之相容也成立，乙個嬰兒總會有他看得懂的東西，一些存在他本能裡的。
那麼所謂矩陣的譜半徑，我理解為事物的本質。而矩陣的譜半徑是這個矩陣所有矩陣範數的下確界，理解這一定理，也就直觀的多。乙個矩陣的矩陣範數是通過乙個人來看大象的「現象」，現象永遠無法超越本質，只能無限靠近本質，譜半徑構成的球體是事物本質最大特徵為半徑構成的，矩陣範數永遠只能徘徊於這個球體之外，或無限接近球體。（難怪有人說，哲學和數學一樣，是萬物的基礎）
所謂有限維空間的不同範數是等價的。這句話也好理解了，不同人看大象無論是想成動畫片裡的「飛天象」也好，或是**也罷，最終還是要收斂到大象這個事物上去。
那麼所謂的運算元範數，運算元範數真包含於矩陣範數當中，從與向量範數的相容性出發。運算元範數從現實的大象出發，包含中國人的想象，美國人的想象，但不包含嬰兒的想象。基於大象出發，誘導出成年人的想象，構成想象空間。但注意，運算元範數是範數，是乙個實數，不等同於空間，是這個空間的上界，即使變換的上界，大象縮放的上界。
以上是我對這些日子學習的範數概念的直覺性理解，我也是受到了上面推薦的那篇文章的啟發，喜歡把具體的資料抽象為我們生活中的東西，不然雖懂得做數學公式推導，但無法理解這樣推導的原理，那和計算器沒什麼區別。
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範數對於數學的意義？1範數 2範數 無窮範數
要更好的理解範數，就要從函式 幾何與矩陣的角度去理解，我盡量講的通俗一些。我們都知道，函式與幾何圖形往往是有對應的關係，這個很好想象，特別是在三維以下的空間內，函式是幾何影象的數學概括，而幾何影象是函式的高度形象化，比如乙個函式對應幾何空間上若干點組成的圖形。但當函式與幾何超出三維空間時，就難以獲得...
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範數及其意義
什麼是範數？範數 norm 是具有度量性質的函式，它經常使用來衡量向量函式的長度或大小，是泛函分析中的乙個基本概念。要更好的理解範數，就要從函式 幾何與矩陣的角度去理解，我們都知道，函式與幾何圖形往往是有對應的關係，這個很好想象，特別是在三維以下的空間內，函式是幾何影象的數學概括，而幾何影象是函式的...