對於任意的向量x,y∈rn ，他們在n維空間上的標準內積，表示如下：
向量x∈rn的euclidean範數（又稱l
2l_2
l2 範數），如下所示：
cauchy-schwartz不等式表明，對於任意的x,y∈rn ，都有：
因此非零向量x，y之間的（無符號）角度定義為：
其中cos-1(u)∈[0,π], 如果x和y正交，那 xty=0。
對於乙個函式f
ff：rn→r， dom
fdomf
domf
= rr
rn,如果滿足一下幾個條件，則被稱為範數：
我們使用符號f(x
)=∣∣
x∣∣f(x)= ||x||
f(x)=∣
∣x∣∣
表示的範數是實數空間上絕對值。當我們要指定特定的範數時，我們使用符號f(x
)=∣∣
x∣∣s
ymbf(x)= ||x||_
f(x)=∣
∣x∣∣
symb
，其中下標是指該範數所表示的含義。
範數是向量x長度的度量, 我們可以測量兩個向量x和y之間的距離，作為它們之差的長度:
我們用範數∣∣⋅
∣∣||·||
∣∣⋅∣
∣表示向量x，y之間的距離，表示為dis
t(x,
y)dist(x,y)
dist(x
,y)。
範數∣ ∣⋅
∣∣||·||
∣∣⋅∣
∣小於或等於1的所有向量的集合被稱為單位球：
單位球滿足下面這些特性：
最簡單的範數就是實數空間上的絕對值。
n維空間上的 euclidean範數（又稱l
2l_2
l2 範數），表示兩個向量x和y之間的距離。
l
1l_1
l1 範數： n維空間上的每個元素的絕對值之和，如下所示：
l
∞l_∞
l∞ 範數，又稱切比雪夫（chebyshev）範數，如下所示：
考慮更一般的情況： l
pl_p
lp 範數：
l
1l_1
l1 範數和l
2l_2
l2 範數分別是p等於1和2的特殊情況。
範數(norm)是數學中的一種基本概念。在泛函分析中，它定義在賦範線性空間中，並滿足一定的條件，即①非負性；②齊次性；③三角不等式。它常常被用來度量某個向量空間（或矩陣）中的每個向量的長度或大小。範數在最優化理論中，經常可以被看到用作例子來說明問題，因此是乙個非常重要的概念。
範數的概念 Norm
向量的範數可以簡單形象的理解為向量的長度，或者向量到零點的距離，或者相應的兩個點之間的距離。向量的範數定義 向量的範數是乙個函式 x 滿足 非負性 x 0，齊次性 cx c x 三角不等式 x y x y 常用的向量的範數 l1範數 x 為x向量各個元素絕對值之和。l2範數 x 為x向量各個元素平方...
範數對於數學的意義？1範數 2範數 無窮範數
要更好的理解範數，就要從函式 幾何與矩陣的角度去理解，我盡量講的通俗一些。我們都知道，函式與幾何圖形往往是有對應的關係，這個很好想象，特別是在三維以下的空間內，函式是幾何影象的數學概括，而幾何影象是函式的高度形象化，比如乙個函式對應幾何空間上若干點組成的圖形。但當函式與幾何超出三維空間時，就難以獲得...
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