最長遞增子串行問題的求解
最長遞增子串行問題是乙個很基本、較常見的小問題，但這個問題的求解方法卻並不那麼顯而易見，需要較深入的思考和較好的演算法素養才能得出良好的演算法。
一， 最長遞增子串行問題的描述
設l=是n個不同的實數的序列，l的遞增子串行是這樣乙個子串行lin=，其中k1是對序列l=按遞增排好序的序列。那麼顯然x與l的最長公共子串行即為l的最長遞增子串行。這樣就把求最長遞增子串行的問題轉化為求最長公共子串行問題lcs了。
最長公共子串行問題用動態規劃的演算法可解。設li=< a1,a2,…,ai>,xj=< b1,b2,…,bj>，它們分別為l和x的子串行。令c[i,j]為li與xj的最長公共子串行的長度。則有如下的遞推方程：
這可以用時間複雜度為o(n2)的演算法求解。求最長遞增子串行的演算法時間複雜度由排序所用的o(nlogn)的時間加上求lcs的o(n2)的時間，演算法的最壞時間複雜度為o(nlogn)＋o(n2)＝o(n2)。
三， 第二種演算法：動態規劃法
設f(i)表示l中以ai為末元素的最長遞增子串行的長度。則有如下的遞推方程：
這個遞推方程的意思是，在求以ai為末元素的最長遞增子串行時，找到所有序號在l前面且小於ai的元素aj，即jf[i]-1)
f[i]=f[j]+1;//更新f[i]的值。}}
system.out.println(f[n-1]);
}這個演算法有兩層迴圈，外層迴圈次數為n-1次，內層迴圈次數為i次，演算法的時間複雜度
所以t(n)=o(n2)。這個演算法的最壞時間複雜度與第一種演算法的階是相同的。但這個演算法沒有排序的時間，所以時間複雜度要優於第一種演算法。
四， 對第二種演算法的改進
在第二種演算法中，在計算每乙個f(i)時，都要找出最大的f(j)(jlen) len++;//更新當前最大遞增子串行長度；
}system.out.println(len);
}現在來證明這個演算法為什麼是正確的。要使演算法正確只須證如下命題：
命題1：每一次迴圈結束陣列b中元素總是按遞增順序排列的。
證明：用數學歸納法，對迴圈次數ｉ進行歸納。
當i=0時，即程式還沒進入迴圈時，命題顯然成立。
設ib[j2]，因為第i次迴圈之前陣列b是遞增的，因此第i次迴圈時b[j1]或b[j2]必有乙個更新，假設b[j1]被更新為元素ai+1，由於ai+1=b[j1]> b[j2]，按演算法ai+1應更新b[j2]才對，因此產生矛盾；假設b[j2]被更新，設更新前的元素為s,更新後的元素為ai+1，則由演算法可知第i次迴圈前有b[j2]＝s< ai+1< b[j1]，這與歸納假設矛盾。命題得證。
命題2：b[c]中儲存的元素是當前所有最長遞增子串行長度為c的序列中，最小的最末元素，即設當前迴圈次數為i，有b[c]=(f(i)為與第二種演算法中的f(i)含義相同)。
證明：程式中每次用元素ai更新b[c]時(c=f(i))，設b[c]原來的值為s，則必有aip(i))的最長遞增子串行後面，就應該能接在b[l]後面，那麼就應該有p(i)=l,與l> p(i)矛盾。因此一定有p(i)＝f(i)，命題得證。
演算法的迴圈次數為n，每次迴圈二分查詢用時logn，所以演算法的時間複雜度為o(nlogn)。這個演算法在第二種演算法的基礎上得到了較好的改進。
原文出處：http://www.wangchao.net.cn/bbsdetail_59352.html
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