什麼是最長遞增子串行呢?
問題描述如下:
設l=是n
個不同的實數的序列，
l的遞增子串行是這樣乙個子串行
lin=
，其中k1且
ak1。求最大的m值。
對於這個問題有以下幾種解決思路:
1、把a1,a2,...,an
排序，假設得到
a'1,a'2,...,a'n
，然後求a的
a'的最長公共子串，這樣總的時間複雜度為
o(nlg(n))+o(n^2)=o(n^2); 2
、動態規劃的思路：
另設一輔助陣列
b,定義
b[n]
表示以a[n]
結尾的最長遞增子串行的長度，則狀態轉移方程如下：
b[k]=max(max(b[j]|a[j]
這個狀態轉移方程解釋如下：在
a[k]
前面找到滿足
a[j]的最大
b[j],
然後把a[k]
接在它的後面，可得到
a[k]
的最長遞增子串行的長度，或者
a[k]
前面沒有比它小的
a[j]
，那麼這時
a[k]
自成一串行，長度為
1.最後整個數列的最長遞增子串行即為
max(b[k] | 0<=k<=n-1);
實現**如下：
#include
using namespace std;
int main()
for(max=i=0;i求出整個數列的最長遞增子串行的長度
if(b[i]>max)
max=b[i];
cout<
}return 0;
}顯然，這種方法的時間複雜度仍為
o(n^2); 3
、對第二種思路的改進：
第二種思路在狀態轉移時的複雜度為
o(n),
即在找a[k]
前面滿足
a[j]的最大
b[j]
時採用的是順序查詢的方法，複雜度為
o(n).
設想如果能把順序查詢改為折半查詢，則狀態轉移時的複雜度為
o(lg(n)),
這個問題的總的複雜度就可以降到
nlg(n).
另定義一陣列
c,c中元素滿足
c[b[k]]=a[k],
解釋一下，即當遞增子串行的長度為
b[k]
時子串行的末尾元素為
c[b[k]]=a[k].
先給出這種思路的**，然後再對其做出解釋。
#include
using namespace std;
int find(int *a,int len,int n)//
若返回值為x,則
a[x]>=n>a[x-1]
return left;
}void fill(int *a,int n)
int main()
for(max=i=0;i
if(b[i]>max)
max=b[i];
cout<
}return 0;
}對於這段程式，我們可以用演算法導論上的
loop invariants
來幫助理解.
loop invariant: 1
、每次迴圈結束後
c都是單調遞增的。
(這一性質決定了可以用二分查詢）
2、每次迴圈後，
c[i]
總是儲存長度為
i的遞增子串行的最末的元素，若長度為
i的遞增子串行有多個，剛儲存末尾元素最小的那個
.（這一性質決定是第
3條性質成立的前提）
3、每次迴圈完後，
b[i]
總是儲存以
a[i]
結尾的最長遞增子串行。
initialization:
1、進入迴圈之前，
c[0]=-1,c[1]=a[0],c
的其他元素均為
1000,c
是單調遞增的;
2、進入迴圈之前，
c[1]=a[0],
儲存了長度為
1時的遞增序列的最末的元素，且此時長度為
1的遞增了序列只有乙個，
c[1]
也是最小的;
3、進入迴圈之前，
b[0]=1
，此時以
a[0]
結尾的最長遞增子串行的長度為1.
maintenance:
1、若在第
n次迴圈之前
c是單調遞增的，則第
n次迴圈時，
c的值只在第
6行發生變化，而由
c進入迴圈前單調遞增及
find
函式的性質可知（見
find
的注釋),
此時c[j+1]>c[j]>=a[i]>c[j-1],
所以把c[j]
的值更新為
a[i]
後，c[j+1]>c[j]>c[j-1]
的性質仍然成立，即
c仍然是單調遞增的；
2、迴圈中，
c的值只在第
6行發生變化，由
c[j]>=a[i]
可知，c[j]
更新為a[i]
後，c[j]
的值只會變小不會變大，因為進入迴圈前
c[j]
的值是最小的，則迴圈中把
c[j]
更新為更小的
a[i]
，當然此時
c[j]
的值仍是最小的;
3、迴圈中，
b[i]
的值在第
7行發生了變化，因為有
loop invariant
的性質2
，find
函式返回值為j有：
c[j-1]這說明
c[j-1]
是小於a[i]
的，且以
c[j-1]
結尾的遞增子串行有最大的長度，即為
j-1,
把a[i]
接在c[j-1]
後可得到以
a[i]
結尾的最長遞增子串行，長度為
(j-1)+1=j;
termination:
迴圈完後，
i=n-1,b[0],b[1],...,b[n-1]
的值均已求出，即以
a[0],a[1],...,a[n-1]
結尾的最長遞增子串行的長度均已求出，再通過第
8行的迴圈，即求出了整個陣列的最長遞增子串行。仔細分析上面的**可以發現，每次迴圈結束後，假設已經求出
c[1],c[2],c[3],...,c[len]
的值，則此時最長遞增子串行的長度為
len,
因此可以把上面的**更加簡化，即可以不需要陣列
b來輔助儲存，第
8行的迴圈也可以省略。
#include
using namespace std;
int find(int *a,int len,int n)//
修改後的二分查詢，若返回值為x，則
a[x]>=n
return left;
}int main()
cout<
}return 0;
}
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